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Beitrag |
    
markus
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 20:42: | 
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Huhu,
gesucht ist INT ((ax+b)/((x-a)*(x-b)))dx
dabei sollen die Fälle a = b und a ungleich b untersucht werden. Die Lösung hab ich, aber brauche den Rechenweg.
Müsste sich wohl mittels Partialbruchzerlegung lösen lassen oder? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Juni, 2001 - 08:12: |
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Hi Markus,
Teilaufgabe a) mit Partialbruchzerlegung
(a x + b ) / [(x-a)*(x-b)] = A / (x - a) + B / (x -b)
Addiert man die Brüche rechts ,so erhält man den neuen
Bruch Z/N ; Z stimmt mit dem Nenner der linken Seite
überein; für Z erhalten wir:
Z = A*x - A * b + B * x - B * a .=
( A + B ) * x + ( - A * b - B * a )
Koeffizientenvergleich:
A + B = a
- A * b - B * a = b
Aus diesen Gleichungen berechnen wir A und B :
A = ( a ^ 2 + b ) / ( a - b )
B = - b * ( a + 1 ) / ( a - b )
Die Integration der Partialbrüche liefert:
J = A* ln (x-a). + B * ln (x-b) ,
wobei die Klammern Absolutstriche bedeuten.
A ist ungleich b , für A und B gelten die berechneten Werte
b) Für die Partialbruchzerlegung machen wir den Ansatz:
(a x + a) / (x - a) ^ 2 = C / ( x - a ) ^ 2 + D / ( x - a )
Für die Koeffizienten C und D erhalten wir die Gleichungen:
C - a * D = a
D = a
Daraus folgt : C = a + a ^ 2 , D = a.
Die Integration ergibt:
J = - C / ( x - a ) + D * ln ( x - a) =
- ( a + a ^ 2 ) / ( x - a ) + a * ln (x - a )
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Markus (Danecro)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Juni, 2001 - 17:03: |
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cool, superausführlich, bin begeistert, vielen dank!! |
Markus (Danecro)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Juni, 2001 - 18:18: |
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uups, zu früh gefreut, komme nich auf die Bestimmung der Koeffizienten für Fall a=b, das andre kann ich alles super nachvollziehen.
die Gleichung müsste ja lauten:
ax+a=C(x-a)+D(x-a)^2
vielleicht könnste mir das nochma erklären?!? |
Johann
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Juni, 2001 - 19:24: |
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Nein!
ax+a=C+D(x-a)
ax+a=Dx+C-Da
a=D
a=C-Da -> C=a+a^2 |
Markus (Danecro)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Juni, 2001 - 21:00: |
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aha, danke
wieso darf man denn das (x-a) aus dem rechten Teil der Gleichung einfach rauskürzen? Das wusste ich nich oder mache ich generell einen Fehler beim Aufstellen der Gleichung? |
Johann
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 09:02: |
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Hi Markus,
Der Ansatz lautet
(ax+a)/(x-a^2)= C/(x-a)^2+D/(x-a)
Diese Gleichung wird mit (x-a)^2 multipliziert:
ax+a= C+D(x-a) |
Johann
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Juni, 2001 - 09:04: |
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Korrektur:
Der Ansatz lautet
(ax+a)/(x-a)^2=C/(x-a)^2+D/(x-a) |
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