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Stetigkeit einer Abbildung

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Robert (Treborius)
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 14:19:   Beitrag drucken

Hallo,

ich tu´ mich leider etwas schwer mit diesen Räumen. Vielleicht kann mir auch hierbei jemand weiterhelfen.

Stellen Sie eine Abbildung her zwischen den Räumen U(2) der unitären 2 x 2 Matrizen
und S^1 x S^3.
Untersuchen Sie diese Bezihung in Bezug auf ihre Stetigkeit.

Ich hoffe jemand nimmt sich meiner an.
Gruß, Treborius.
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Robert (Treborius)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 17:11:   Beitrag drucken

Hallo,

auch nach einer Woche verstehe ich diese Aufgabe ebenso wenig wie zuvor. Ist sie nicht wahrgenommen worden, oder findet ihr sie alle ebenso unverständlich wie ich?

Ich wäre für jeden Hinweis dankbar.

Gruß, Treborius.
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Juni, 2001 - 19:01:   Beitrag drucken

Hallo :

Ich bin nicht (mehr) besonders beschlagen auf
diesem Gebiet, vielleicht helfen dir aber die
folgenden Bemerkungen ein wenig auf die SprŸnge :

U(2) := Gruppe aller komplexen (2,2)-Matrizen A
mit A*A = E <==> A^(-1) = A* (A* := konjugiert-transponierte zu A). FŸr die Determinante det(A) gilt dann |det(A)| = 1, d.h.
det(A) = r +si mit

(1) r^2 + s^2 = 1.

Eine Untergruppe von U(2) ist die spezielle unitaere Gruppe SU(2) :

SU(2) := Gruppe aller A in U(2) mit det(A) = 1.

Sei A = ([u,v] , [x,y]) ([..] bedeutet Zeile).

Die Bedingungen A^(-1) = A* und det(A) = 1 ergeben

x = - v* , y = u* (* bedeutet konjugiert komplex).

Also

A = ([u,v],[-v*,u*]).

Die Bedingung det(A)=1 schreibt sich

(2) u u* + v v* = 1.

Die d-dimensionale Einheitssphaere S^d ist definiert als Loesungsmenge der Gleichung

(x_1)^2 + ... + (x_(d+1))^2 = 1

d ist die Anzahl der Freiheitsgrade.Setzt man
u = x_1 + x_2*i und v = x_3 +x_4*i, so wird (2)

(3) (x_1)^2 + (x_2)^2+ (x_3)^2 + (x_4)^2 = 1

Das bedeutet : Die Abbildung

A --> f(A) := (x_1,x_2,x_3,x_4)

ist eine in beiden Richtungen stetige Bijektion
(Homoeomorphismus) der SU(2) auf die 3-Sphaere.

FŸr eine Matrix A in U(2) definieren wir

g(A) := (det(A) , f(A)).

Wegen (1) ist dies ein Homoeomorphismus von U(2)
auf S^1 x S^3 .

Gruss

Hans

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