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Beitrag |
    
Michael
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 13:07: | 
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Hallo Mathefreunde,
Zeigen Sie, dass
a) für jedes k el.[0,1] das uneigendliche Integral
E(k):= Int(0..1)Sqrt((1-k²t²)/(1-t²))dt
existiert ("das vollständige elliptische Integral")
b) Drücken Sie die Bogenlänge der Ellipse
f:[0,2*Pi] --> IR²
t --> (a*cos(t), b*sin(t))
mit den Halbachsen a,b el. IR>0 mit Hilfe von E(k) aus.
Kann mir bei dieser "Geschichte" jemand helfen? |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 20:34: |
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Hallo :
Mit b) hat man auch a) erledigt.
Nach der Formel fŸr die Bogenlaenge ist der
Ellipsenumfang
U=4*int(0..Pi/2)sqrt[a^2*sin^2(u)+b^2*cos^2(u)]du
= 4a*int(0..Pi/2)sqrt[1 - k^2*sin^2(u)]du,
wobei k := sqrt(a^2 - b^2)/a^2 die numerische
Exzentrizitaet ist.
Mit der Substitution
sin(u) = t ==> du = dt/sqrt(1-t^2)
wird
U = 4a*int(0..1)sqrt[(1-k^2t^2)/(1-t^2)]dt
= 4a*E(k).
Gruss
Hans |
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