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Goofy
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Juni, 2001 - 21:12: | 
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Hallo Leute!
Wir haben ein Problem.Wer kann uns folgende Extremwertaufgabe lösen.
Ein Bild hängt an einer wand,sein unterer Rand ist um die Länge b,sein oberer Rand um a höher als das Auge des Betrachters(a>b).In Welcher Entfernung muß der Betrachter stehen,um das Bild unter einem möglichst großen winkel zu sehen?
Wie groß ist der maximale Winkel?Die Aufgabe ist mit hilfe der Differentialrechnung zu lösen.
Danke im vorraus!!!!!!!!! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 08:06: |
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Hallo :
Bezogen auf ein passendes Koordinatensystem sei
P = (x,0) das Beobachterauge, A = (0,a) der obere
und B = (0,b) der untere Rand. Der Beobachter
sieht das Bild unter dem Sehwinkel w = Winkel APO
- Winkel BPO (O := Ursprung). Mittels rechtwinkliger Dreiecke und dem Additionstheorem
des Tangens sieht man, dass
tan(w) = (a/x - b/x)/(1 + ab/x^2).
Die Funktion w --> tan(w) ist monoton wachsend,
d.h. w wird maximal wenn tan(w) maximal.
Demzufolge genŸgt es, die Zielfunktion
f(x) := x/(x^2 + ab) ; 0 < x < oo
zu maximieren. Man findet routinemaessig dass das
Maximum fŸr x = sqrt(ab) (geometrisches Mittel)
angenommen wird.
Bemerkung : Viel eleganter und schoener ist die
elementargeometrische Loesung: w ist konstant, wenn sich P auf einem Kreis durch A und B bewegt.
w wird maximal, wenn dieser Kreis die x-Achse
tangiert. P ist dann der BerŸhrpunkt. Aus dem
Sekanten-Tangentensatz folgt unmittelbar x^2=ab.
Gruss
Hans |
Carsten
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 17:08: |
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