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Beitrag |
    
ZyRES
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Juni, 2001 - 18:08: | 
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Ich hab Probleme mit dem Beweis das das arithmetische Mittel >= dem geometrischen Mittel ist. Den Induktionsanfang hab ich für zwei reelle Zahlen hinbekommen aber beim Schluß haperts noch. Die unter http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/6439.html? gezeigte Lösung weißt meiner Meinung nahc einen Fehler auf: arithm. Mittel = S n+1 i=1 ai/2 müsste wohl heißen S n+1 i=1 ai/n+1
Damit ist der Induktionsschluß dann doch nicht so einfach. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 11:05: |
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Hallo :
Der klassische Beweis stammt von Cauchy und hat
den Vorteil, dass man ihn leicht rekonstruieren
kann, wenn man ihn vergessen hat (wie der Schreibende):
1. Induktion bzgl.k,wenn die Anzahl der Variablen
n = 2^k ist: fŸr k=1 ist die Sache elementar.
Ind._Annahme: FŸr irgendein k sei schon
x(1)*...*x(2^k) =< {(x(1)+...+x(2^k))/2^k}^(2^k)
bewiesen. Dann ist
x(1)*...*x(2^(k+1)) =
[x(1)*...x(2^k)]*[x(2^k+1)*...*x(2^(k+1))]
=<[(x(1)+...+x(2^k))/2^k]^(2^k*)
*[(x(2^k+1)+...+x(2^(k+1)))/2^k]^(2^k)
={(x(1)+...+x(2^k))/2^k
+ (x(2^(k+1)+...+x(2^(k+1)))/2^k]/2}^(2^(k+1))
={[x(1)+...+x(2^(k+1))]^/2^(k+1)}^2^(k+1).
2. Sei m der kleinste Exponent sodass n < 2^m.
Setze
y := (1/n)*(x(1)+...+x(n)).
Das Produkt
x(1)*...*x(n)*y^(2^m-n)
hat 2^m Faktoren, also ist nach 1.
x(1)*...*x(n)*y^(2^m-n)
=<[(x(1)+...+x(n)+(2^m-n)*y)/2^m]^(2^m)
= y^(2^m) ==>
x(1)*...x(n) =< y^n = [(x(1)+...+x(n))/n]^n.
Gruss
Hans |
Janina
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Juni, 2001 - 23:12: |
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Hallo Hans!Ich finde es sehr beeindruckend wie gut du dich auskennst in der Welt der Mathematik.Ich würde gerne wissen wer du bist und was du so machst?Ich würde mich über eine antwort freuen.
MFG Janina |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Juni, 2001 - 08:09: |
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