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Rene
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Juni, 2001 - 13:46: | 
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Hallo könnt ihr mir weiter helfen
Man löse mit Laplacetrans.
y'+y=t^2*e^t-cos2t
y(0)=2
Danke
MfG
Rene |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Juni, 2001 - 20:21: |
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Hallo :
Das charakteristische Polynom der linken Seite
lautet s+1, fŸr die Bildfunktion Y(s) der Loesung
y(t) gilt also
(s+1)Y(s) = L{t^2*e^t - cos(2t)}.
Die fŸr die rechte Seite benoetigten Integrale
int(0..oo)t^2*e^[(1-s)t]dt und
int(0..oo)e^(-st)*cos(2t)dt
lassen sich leicht elementar auswerten.Es ergibt sich
(s+1)Y(s) = 2/(s-1)^3 - s/(s^2+4) .
Loest man nach Y(s) auf und fŸhrt anschliessend
Partialbruchzerlegung durch, so kommt
Y(s) = -1/(s+1) + (1/4)/(s-1) - (1/2)/(s-1)^2
+ 1/(s-1)^3 - (1/5)s/(s^2+4) - (4/5)/(s^2+4).
Zur RŸcktransformation benutzt man am einfachsten
Tabelle 4.4.3.3. in Bronstein-Semendjajew,
Taschenbuch der Mathematik.
Da die allgemeine Loesung der homogenen Gleichung C*e^(-t) lautet, so erhaelt man als allgemeine
Loesung der gegebenen Gleichung
y(t) = (1/4)(2t^2-2t+1)e^t-(1/5)(cos(2t)+2sin(2t))
+ C e^(-t).
Zum genau gleichen Resultat komme ich schneller
mit Variation der Konstanten, d.h. mit dem
Ansatz y(t) = w(t)*e^(-t).
Rechne dennoch alles nach !
Gruss
Hans |
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