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Beitrag |
    
Inga M.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Juni, 2001 - 10:20: | 
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Hallo!
Wäre super, wenn Ihr mir helfen könntet!
Habe Probleme bei der Lösung folgender Aufgabe:
Eine spiralförmige Kurve wird in Polarkoordinaten beschrieben. Man berechne die Fläche, die vom Radiusvektor überstrichen wird, die Länge der Kurve und die x- Koordinate des Flächenschwerpunktes für das angegebende Intervall.
r(x)= e^a*x für 0<=x<=2TT (pi)
Ich habe besonders Probleme beim Berechnen der Länge in Polarkoordinaten und beim Schwerpunkt.
Viele Dank für die Hilfe!!!
Inga |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Juni, 2001 - 13:55: |
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Hi Inga ,
Von der logarithmischen Spirale r = e ^ (a* phi)
berechne ich zunächst die Fläche S und die Länge L
des Bogens für das angegebene phi-Intervall.
A] Sektorfläche S
S = ½ * int [r^2 * d(phi)] = ½ * int [ e^(2 a *phi) * d(phi) ] =
= 1 / (4*a) * e ^ ( 2 a * phi ) ,untere Grenze 0,obere Grenze2*Pi.
Werden die Grenzen eingesezt , so kommt:
S = 1/(4*a) * {e ^(4 a * Pi ) - 1 }
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B] Bogenlänge L
Aus der Gleichung der logarithmischen Spirale folgt durch Ableiten
nach phi:
dr / d(phi) = a * e ^ (a phi ) , also gilt für die Differentiale dr , d(phi) :
dr = e^(a phi ) * a * d(phi) oder auch mit Benützung der gegebenen
Gleichung:
d(phi) = dr / ( a r ) .
Für das Bogenelement ds erhalten wir:
(ds) ^ 2 = (dr ) ^ 2 + r^2 * [d (phi )] ^ 2, also
(ds)^2 = (dr)^2 * [1+ 1/a^2] und daraus
ds = dr * wurzel (1 + 1 / a^2) = dr/a * wurzel (a^2 + 1)
Durch Integration erhalten wir daraus sofort L:
L = 1/a* wurzel(a^2 + 1) * int [dr],untere Grenze
r1 = 1 , obere Grenze r2 = e^ ( a * 2* Pi), also
L = 1/a * wurzel(a^2 + 1 )* [e^ ( a * 2* Pi ) - 1)]
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Mit freundlichen Grüssen
H.R. Moser, megamath. |
Inga M.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Juni, 2001 - 14:58: |
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Vielen Dank! Das hilft mir schon sehr weiter.
Wäre nett, wenn ich noch wissen könnte, ob für die Berechnung des Schwerpunktes der Ansatz
x(s)= 1/F * int[phi(0)bis phi(1)]*int [0 bis r(phi)] *r² *cos(phi) d(phi)
richtig ist.
Viele Grüße, Inga |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Juni, 2001 - 16:13: |
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Hi Inga ,
Um die statischen Momente des Flächenelementes
dF = r*d(phi)* dr (Polarkoordinatendarstellung)
bezüglich der beiden Koordinatenachsen
zu bekommen ,multiplizieren wir df mit
x = r* cos (phi) und mit y = r * sin (phi)
und erhalten als statische Elementarmomente:
dM1 = x* r * d(phi) * dr = r^2 * cos (phi) * d(phi) * dr
dM2 = y* r * d(phi) * dr = r^2 * sin (phi) * d(phi) * dr.
Sei F die Fläche des ganzen Sektors; der Schwerpunkt S
dieses Sektors hat dann die Koordinaten:
xS = 1/F * int [cos(phi)d(phi) int [r^2*dr]]
Die Grenzen des inneren Integrals sind r = 0 und r ;
es kann sofort ausgewertet werden , sodass wir bekommen:
xS = 1 / ( 3* F ) * int [ r^3 * cos (phi) * d( phi ) ].
Grenzen: unten : phi = 0 , oben : phi = 2* Pi
Analoges gilt für yS.
Im erste Abschnitt A] wurde die Fläche F berechnet.
Wir erhielten :
F = S = ( e ^ (4*a*Pi) - 1) / ( 4 * a ).
Für die Berechnung des Integrals benützen wir die Methode der
partiellen Integration gleich zweimal .
Uebrigens ist im Integral r durch e ^ ( a* phi ) zu ersetzen,
also r ^ 3 durch e ^ ( 3* a*phi )
Für xS erhalten wir dann nach ausgiebiger und sorgfältiger
Rechnung:
xS = 4*a^2* [e^(6*a*Pi) - 1 ] / [(1+9*a^2) * (e^(4*a*Pi) -1 )]
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Bei Bedarf werde ich Dir diese Megarechnung vorführen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Inga M.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Juni, 2001 - 09:30: |
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Vielen Dank!
Jetzt kann ich es nachvollziehen.
Viele Grüße, Inga |
Inga M.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Juni, 2001 - 12:29: |
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Da war ich wohl etwas voreilig!
Hatte den Ansatz bis
xS=1/(3*F) *int[r^3*cos (phi)* d(phi)]
auch selbst herausgefunden. Aber jetzt scheitert es doch an der Partiellen Integration.
Muß also doch auf das Angebot zurückkommen, die Megarechnung noch mal im Detail zu sehen.
Schon mal vielen Dank!
Grüße, Inga |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Juni, 2001 - 18:02: |
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Hi Ina ,
Wir berechnen das unbestimmte Integral
J =J(x) = int [ e^(3 a x) * cos x * dx ]
mittels partieller Integration.
Wir setzen u ' = e ^ ( 3 a x ) , v = cos x
Dann gilt u = 1 / ( 3 a ) * e ^ ( 3 a x ), v ' = - sin x
Somit:
J = 1 / ( 3 a ) * e ^ ( 3 a x ) * cos x
+1 / ( 3 a ) * int [e ^ ( 3 a x ) * sin x * dx ]..........................................(I)
Das neue Integral rechts sei K = K(x) ;
wir integrieren K ebenfalls partiell mit
u ' wie soeben und mit v = sin x , also v ' = cos x
Wir erhalten:
K = 1 / ( 3 a ) * e ^ ( 3 a x ) * sin x
- 1 / ( 3 a ) * int [ e ^ ( 3 a x ) * cos x * dx ]...................................(II)
Das letzte Integral rechts ist wiederum das gesuchte Integral J.
Wir setzen (II) in (I) ein und erhalten eine Gleichung für das
gesuchte Integral J .
J = 1/ (3 a ) * e ^( 3 a x ) * cos x + 1 / ( 9 * a ^2 ) * e ^ ( 3ax) * sin x
- 1 / ( 9 *a^2 ) * J ; Auflösung nach J :
J = 1 / ( 9 * a ^2 + 1 ) * e ^ ( 3 * a * x ) * [ 3 a cos x + sin x ]
Jetzt noch die Grenzen einsetzen und durch
3*F dividieren.
Geht das ?
Viele Grüsse
H.R.Moser,megamath. |
Inga M.
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Juni, 2001 - 09:31: |
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Vielen Dank jetzt habe ich es verstanden!
War mir wirklich eine große Hilfe.
Hören vielleicht bei meinem nächsten Matheproblem voneinander.
Nochmal vielen Dank, war mir wirklich wichtig diese Aufgabe zu verstehen.
Viele Grüße, Inga |
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