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Sibylle (Aleika2)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 19:21: | 
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Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich habe keinen blassen Schimmer, wie ich die Beweise angehen soll.
Die reelwertigen Funktionenfolgen fn und gn seien auf ihrem gemeinsamen Def.bereich D gleichmässig konvergent gegen f bzw. g. Nun muss ich folgendes zeigen:
a, (fn+gn) konvergiert auf D gleichmässig gegen f+g
b, (fn * gn) konvergiert auf D gleichmässig gegen f*g, wenn jede der Funktionen fn und gn beschränkt ist.
c, gilt b, auch ohne Beschränktheitsbedingung? (Beweis oder Gegenbeispiel)
Wäre auch gut, wenn man mir nochmal die gleichmässige und/oder die punktweise Konvergenz erklären könnte.
Danke |
yassi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Juni, 2001 - 15:54: |
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wir haben: (fn) konvergiert gegen f
(gn) konvergiert gegen g ,auf D
a/(fn+gn)konvergiert auf D gleichmässig gegen f+g?
fn-->f <=> A">0,gibtn" /n>n"=> ]fn-f[<A" (1)
gn-->g <=> A'>0,gibtn' /n>n'=> ]gn-g[<A' (2)
seiN`=maxi(n",n')
fürn>N` gilt (1) und (2)
]fn+gn-(f+g)[ <]fn-f[+]gn-g[<A"+A'
Aist belibig,seiA=A'+A"
dann haben wir;A>0,gibtN`/n>N`=>]fn+gn-8f+g)[<A
d.h fn+gn konvergiert auf D gleichmässig gegenf+g
b/fn ist beschränkt<=>gibtM'/ ]fn[<M' für alle n
gn --------------<=>--- M"/ ]gn[<M" ---------(3)
für n>N` gilt (1)und(2)
](fn*gn)-(f*g)[=]fn*gn-f*gn+f*gn-f*g[
<]fn*gn-f*gn[+]f*gn-f*g[
<]gn[*]fn-f[+]f[*]gn-g[
<]gn[*A"+]f[*A'
wegen(3) < M"* A"+]f[*A'
sei A=M"*A"+]f[*A'
für n>N` => ](fn*gn)-(f*g)[< A
fertig.ich hoffe,dass ich dir behilflich war.und viel Spass noch |
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