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Anett (Asmodina)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 16:20: | 
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Hallo, ich könnte da mal dringend mathematische Hilfe gebrauchen. Die Aufgabe besteht in einer Rücktransformation in den Zeitbereich. Die Lösungen habe ich bereits, allerdings fehlen mir die wichtigen Zwischenschritte. Ich habe es bereits mit Partialbruchzerlegung probiert, allerdings bleiben da die für mich "nicht lösbaren " Terme erhalten. Ich wäre ganz toll, wenn mir jemand folgende 3 Aufgaben mit Zwischschritten lösen könnte. Vielen vielen Dank, wenn ihr mir helfen könnt.
1.) 1/((s+1)^4) Lsg: 1/6*x^3*exp(x)
2.) 2/((s-1)^2+4)^2
Lsg: -1/8*exp(x)*(2*x*cos(2x)-sin(2x))
3.) s/((s-1)^2+4)
Lsg: exp(x)*cos(2x)+0.5*exp(x)*sin(2x) |
Markus
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 19:34: |
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Hallo Anett!
Die verwendeten Rechenregeln für die Laplace-Transformation findest Du beispielsweise auf Seite: http://www3.htl-hl.ac.at/homepage/bok/dt/mathe/laplace/a10b5.htm
zu 1.)
a) Potenzregel: s^n <--> 1/n! * x^n (hier: s^4 <--> 1/6*x^3)
b)Verschiebungssatz im Frequenzbereich: f(s+a) <--> e^(-ax)*f(x) (hier: 1/(s+1) <--> e^(1x))
Also damit: 1/((s+1)^4) <--> 1/6*x^3*exp(x)
zu 2.)
c) Tabelle: 1/((s+a)^2+w^2) <--> 1/w*exp(-ax)*sin(wx)
(s+a)/((s+a)^2+w^2) <--> exp(-ax)*cos(wt)
oder merken: w/(s^2+w^2) <--> sin(wx) und s/(s^2+w^2) <--> cos(wx) und Verschiebungssatz
d) Differentiationssatz im Frequenzbereich:
d/ds[f(s)] <--> -1*x*f(x)
Ich fang mit der Lösung an:
f1=-1/4*e^x*cos(2x) <--> 1/4*d/ds[(s-1)/((s-1)^2+2^2)] = L1 (Regel c,d,b)
L1=1/4*((s-1)^2+4-(s-1)*2*(s-1))/((s-1)^2+4)^2=1/4*(4-(s-1)^2)/((s-1)^2+4)^2
f2=1/4*1/2*e^x*sin(2x) <--> 1/4*1/((s-1)^2+2^2)=1/4*((s-1)^2+4)/((s-1)^2+2^2)^2=L2
Jetzt nur noch zusammenzählen:
f1+f2 <--> L1+L2 und daraus die Behauptung
zu 3.) Nach Tabelle c) sinus-Term und cosinus-Term addieren und Verschiebungssatz beachten:
Ich nehme wieder die Lösung:
e^x*cos(2x) <--> (s-1)/((s-1)^2+4)
1/2*e^x*sin(2x) <--> (1/(s-1)^2+4)
Beidseitige Summation liefert die Behauptung
Bem: Da die Laplace-Transformation eine lineare bejektive Abbildung ist, ist es gleich ob Du von f(x) nach F(s) transformierst oder von F(s) nach f(x) rücktransformierst, ich schreibe dafür f(x) <--> F(s) |
Anett (Asmodina)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 20:33: |
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Danke das du dich der Aufgaben angenommen hast, das hilft mir auf jeden Fall und die Internetseite sieht auch vielversprechend aus. Danke! |
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