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Beitrag |
    
stefan meier (Otto99)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 20:03: | 
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Man transformiere folgende Hyperflaechen zweiter Ordnung auf ihre euklidische Normalform
H:= Menge aller (x,y,z) aus dem R^3 für die gilt:
9 x^2 -24 xy +16 y^2 -10 x +180 y +325 = 0
K:= Menge aller (x,y,z) aus dem R^3 für die gilt:
4 x^2 +4 xy +y^2 -20 x -10 y +16 = 0
Ich bin auch für alle Hinweise auf den moeglichen Rechenweg dankbar, der ist mir momentan noch schleierhaft (Eigenwerte bestimmen? Orthogonalbasis bzgl. Bilinearform ? Einfach nur quadratisch ergaenzen?
Gruesse
Stefan |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Mai, 2001 - 18:08: |
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Hi Stefan,
Zur Lösung deiner beiden Aufgaben muss die
Methode der Hauptachsentransformation eingesetzt
werden.
Damit Du Dich einstimmen kannst, empfehle ich,
meine Arbeit zu diesem Thema im Archiv zu
studieren.
Du findest diese Ausführungen unter dem
Stichwort "narrensicher"
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
stefan meier (Otto99)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Mai, 2001 - 20:12: |
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Hi H.R.,
gibt es bei den beiden Hyperflaechen H und K keinen einfacheren Weg als über die Hauptachsentransformation?
Man kann z.b. die Menge K schreiben als:
K:= Menge aller (x,y,z) aus dem R^3 für die gilt:
(2 x+ y)^2 -10 *(2 x + y) +16 = 0
Bringt das gar keinen Vorteil?
Gruesse Stefan
PS
Danke für den Hinweis auf den Archiveintrag
Um das zu lesen und zu verstehen brauch ich allerdings etwas mehr Zeit als ich momentan zur Verfügung habe |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Mai, 2001 - 20:22: |
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Hi Stefan,
In der (x,y)- Ebene können die vorgelegten Gleichungen
zweiten Grades als Kegelschnitte im weitesten
Sinn gedeutet werden
Im R3 liegen Zylinderflächen vor, welche die genannten
Kegelschnitte als Leitkurven haben.
Als erstes ist die Art der Kegelschnitte zu ermitteln.
Ich nehme zunächst die Teilaufgabe b)
Damit Du nicht zu weit suchst , nehme ich das Resultat
vorweg.
Die Gleichung zweiten Grades lässt sich sofort in zwei
lineare Faktoren zerlegen
Wir finden leicht die Zerlegung:
F(x,y) = 4*x^2 + 4 x y + y^2 - 20 x- 10 y + 16 =
( 2 x + y - 2 ) *(2 x + y - 8 )
Setzt man F null, so kann jede der beiden Klammern für sich
null sein ;dieses Gleichungspaar stellt einen ausgearteten
Kegelschnitt dar, ein Parallelgeradenpaar.
Im Raum haben wir als Spezialfall eines Zylinders
ein Paar paralleler Ebenen, welche zur (x,y)-Ebene
senkrecht stehen
Das Ergebnis lässt sich auch durch eine ausführliche Analyse
belegen
Auf Wunsch kann ich später näher darauf eingehen
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Mai, 2001 - 22:14: |
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Hi Stefan,
Jetzt nehmen wir die erste Teilaufgabe in Angriff.
Wir lösen die Aufgabe nach alter Väter Sitte mit
der bekannten Formel für den Drehwinkel gamma..
Hauptziel ist dabei, in den transformierten
Gleichungen keine gemischten Glieder x*y mehr
zu haben.
Wenn wir brav transformieren, erhalten wir in
einem letzten (u,v)-Koordinatensystem die einfache
Gleichung
v ^ 2 = - 4 * u
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Wir erkennen die Kurve als eine
ausgewachsene Parabel
mit der u-Achse als Achse, dem neuen Nullpunkt
als Scheitel und mit p = 2 als Parameter.
Die Fläche im R3 stellt sich somit als parabolischer
Zylinder dar, dessen Mantellinien zur (x,y)-Ebene
senkrecht stehen.
Beginn der Transformation
In der Gleichung zweiten Grades
A x^2 + 2 B x y + C y ^2 + 2 D x + 2 E y + F = 0
lauten die Koeffizienten:
A = 9 , B = - 12 (Achtung!) , C= 16 ,
D = - 5 . E = 90 , F = 325.
1.
Wir bilden die Determinante mit den Elementen
a11= A , a12 = a21 = B , a22 = C.
Der Wert der Determinante ist null , ein Hinweis darauf ,
dass eine PARABEL vorliegt.
2.
Der Drehwinkel gamma wird nach der Formel berechnet:
tan [ 2 * gamma ] = 2 * B / ( A - C )
Wir erhalten für den doppelten Drehwinkel den Wert
tan [2*gamma] = 24 / 7.
Für den einfachen Winkel gamma erhalten wir zwei Werte:
tan [gamma1] = ¾ , tan[gamma2] = - 4 / 3.
Die zugehörigen Richtungen sind zueinander senkrecht; die
erste liefer die neue X -Achse, die andere die Y-Achse ,
beide sollen durch O gehen
Für den Richtungswinkel alpha der X-Achse berechnen wir
aus tan (alpha) = ¾ noch cos (alpha) = 4/5
und sin (alpha ) = 3/5
3.
Wir erhalten die folgenden ersten Transformationsformeln
( alte Koordinaten x, y aus den neuen X, Y ) :
x = X * cos(alpha) - Y * sin (alpha)
y = X * sin (alpha) + Y * cos (alpha)
also:
x = 0.8 * X - 0,6 * Y
y = 0.6 * X + 0,8 * Y
Dies ist in die gegebene Gleichung einzusetzen.
Fortsetzung folgt .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath, |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Mai, 2001 - 07:06: |
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Hi Stefan,
In der transformierten Gleichung in den Variablen X,Y
fehlt der Term X*Y; der Zweck unserer bisherigen Uebung
war es ja auch, dies zu erreichen.
Weil eine Parabel vorliegt, fehlt auch eines der quadratischen
Glieder, in diesem Fall X ^ 2 .
Kurzum:: die vereinfachte Gleichung lautet:
Y ^ 2 + 4 X + 6 Y + 13 = 0.
Diese Gleichung stellt eine Parabel dar, deren Achse parallel
zur X-Achse verläuft.
Wir ermitteln den Scheitel S der Parabel.
Es gibt mehrere Methoden , dies zu tun; z.B. diese :
Man schneidet die Parabel mit Parallelen zur Y-Achse
(Gleichung X= k) und bestimmt k so, dass die Schnittpunkte
der Geraden mit der Parabel in einem
Punkt S zusammenfallen
(Doppellösung einer quadratischen Gleichung).
Resultat: der Scheitel S hat die Koordinaten
XS = -1 , YS = - 3
Durch eine Parallelverschiebung führen wir ein neues
(u,v)-Koordinatensystem mit S als neuer Nullpunkt ein.
Die Transformationsgleichungn lauten:
X = u -1 , Y = v - 3:
Im neuen System lautet die Gleichung der Parabel:
v ^ 2 = - 4 * u ^ 2
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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