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Sandra (Sandra24)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Mai, 2001 - 16:07: | 
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Ein Kind kauft jeden Tag ein Pokemonbildchen in verschlossenem Umschlaf. WIR Nehmen an, dass alle n Polemons gleich häufig vorkommen. Die Zufallsvariable T zählt die Tage bis das Kind alle Pokemons besitzt.
Was ist der Erwartungswert von T?
Als kleiner Tip:
Teilen sie die Zeit in Phasen auf, die jeweils aus der Anzahl Tage bestehen, die nach dem Finden des (i-1)ten Pokemon bis zum finden des i-ten vergehen.
Mit welcher WS erthält das Kind ein neues Pokemon, wenn es schon i-1 besitzt?
Wie lange dauert also die i-te Phase im Schnitt??
Leider habe ich keine Ahnung wie das gehen soll
Danke für jeden Tip |
Dea (Dea)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Juni, 2001 - 12:04: |
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Hallo Sandra,
ich stelle mir das so vor: Wenn das Kind zu Beginn des täglichen Kaufs noch keine Bilder besitzt, dann ist jedes Bild das erste. Also Anzahl Tage zum finden des 1. (vom 0. bis zum 1.) ist 1.
Am zweiten Tag bekommt das Kind entweder nochmal das gleiche Bild mit p=1/n oder ein zweites mit p=(n-1)/n
Wie lange dauert es, bis das Kind das zweite Bild bekommt? P(1 Tag) = (n-1)/n, P(2 Tage) = (1/n)*((n-1)/n), P(3 Tage) = (1/n)2*((n-1)/n), ...
Dies ist eine unendliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. In der Aufgabe ist gefragt, wie lange diese Phase im Schnitt gilt, also der Erwartungswert.
E(Tage fürs 2. Bild) = 1*(n-1)/n + 2*(1/n)*((n-1)/n) + 3*(1/n)2*((n-1)/n) + ...
E(Tage fürs 2. Bild) = ((n-1)/n) * Summe (j = 1 bis unendlich) j*(1/n)j-1
Für das i. Bild sieht dies Sache genauso aus. Das Kind besitzt bereits i-1 Bilder. Also Wahrscheinlichkeit, daß es das i. Bild am ersten Tag bekommt ist (n-(i-1))/n = (n-i+1)/n. Wahrscheinlichkeit, daß es das i. Bild am zweiten Tag bekommt, ist (i/n)*((n-i+1)/n). Wahrscheinlichkeit, daß es das i. Bild am dritten Tag bekommt, ist (i/n)2*((n-i+1)/n)
Damit kann man wieder den Erwartungswert aufstellen:
E(Tage für i. Bild) = 1*(n-i+1)/n + 2*(i/n)*((n-i+1)/n) + 3*(i/n)2*((n-i+1)/n) + ... =
((n-i+1)/n) * Summe (j = 1 bis unendlich) j*(i/n)j-1
Nun muss man diese Summe berechnen ...
Ich hoffe, das hat Dir geholfen.
Gruß, Dea |
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