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Beitrag |
    
Christoph (Gregor_2)
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 19:47: | 
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Durch die Gleichung x*y³ + 2*y = 1
ist y in (differenzierbarer) Abhänggkeit von x gegeben; insbesondere ist y = 1/2, wenn x = 0 ist. Man gebe das Differential dy für x = 0 und die Linerarisierung von y in x0 = 0 an.
Vielen Dank! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 21:43: |
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Hi Christoph,
Wir differenzieren die Relation in x, y implizit nach x .
Es entsteht mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel:
y^3 + x * 3 y^2 y' + 2 * y' = 0 ; aufgelöst nach y' :
y' = - y ^3 / [3 x y ^2 + 2 } oder :
dy = - y^3 * dx / [3 x y ^2 + 2 ]
für x = 0 gilt y = ½ und y' = - 1 / 16 = m
Also erhalten wir im Punkt (0 / ½ )
die linearisierte Gleichung (Tangentengleichung)
y = - 1 / 16 * x + ½
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Wir bekommen die Steigung m auch ohne Differentialrechnung
Aus der gegebenen Relation direkt als Grenzwert
Lim { [y - ½] / x } für x strebt gegen null.
Es gilt nämlich 2 y - 1 = - x* y ^ 3,
also
[ y - ½] / x = - ½ y ^3.
Die linke Seite strebt gegen m ,
die rechte gegen - ½ * ( ½ ) ^3 = - 1 / 16.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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