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Robert (Treborius)
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 13:59: | 
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Hallo zusammen,
ich soll die "Fouriertransformierte" zu folgenden Funktionen berechnen:
a) f(x)= e^-|x| b) f(x)= 1/(1+x^2)
Ich verstehe das Ganze (noch) nicht.
Wäre wirklich nett, wenn mir dabei jemand helfen könnte. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 15:56: |
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Hallo :
Die F-Transformierte von f(x) ist
F(y) := sqrt(1/2*Pi)*int(-oo..+oo)f(x)e^(xy)dx.
In beiden Faellen ist f gerade: f(-x)=f(x). Dann
ist
F(y) = sqrt(2/Pi)int(0..oo)f(x)cos(xy).
Das sieht man, wenn man obiges Integral in
int(-oo..0) und int(0..oo) aufspaltet und im
ersten Teilintegral x = - t substituiert.
a) F(y) = sqrt(2/Pi)*int(0..oo)e^(-x)cos(xy)dx
Das Integral ist elementar auszuwerten (partielle
Integration, Formelsammlung). Man findet
F(y) = sqrt(2/Pi)/(1+y^2).
b) FŸr das Integral muss man wohl den Residuensatz
bemŸhen. Resultat :
F(y) = sqrt(Pi/2)*e^(-y).
Gruss
Hans |
Robert (Treborius)
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 18:28: |
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Danke Hans, du bist mir wirklich eine große Hilfe.
Villeicht könntest du noch einen Satz zum "Residuensatz" sagen. Ich hab´s gelesen (mehrfach), aber ich versteh´es nicht wirklich.
Dank und Gruß Treborius. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 19:17: |
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Hallo :
Um Dich Ÿber den Residuensatz zu informieren,
solltest Du zweckmaessig ein Lehrbuch der
Funktionentheorie konsultieren. FŸr unseren
Zweck brauchen wir folgende Version:
g(z) sei bis auf endlich viele Punkte z_1,...,z_m
der oberen komplexen Halbebene holomorph, und
es gelte lim(z->oo)z*g(z) = 0. Dann ist
int(-oo..+oo)g(x)dx =
2 Pi *i* sum(j=1,..,m)(Res g)(z_j).
FŸr unser Beispiel ist g(z) = e^(iyz)/(1+z^2).
z_1 = i ist der einzige Pol in der oberen
Halbebene, und
(Res g)(i) = lim(z->i)(z-i)g(z) = e^(-y)/(2i),
also F(y) = sqrt(Pi/2)*e^(-y).
Dasselbe Resultat finde ich in Bronstein-
Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, p. 621
Hans |
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