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Beitrag |
    
Herzi
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Mai, 2001 - 18:30: | 
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Hallo alle miteinander
ich soll zwei Diff. mit hilfe durch Variablentransformatin x=e^t auf ein Diff. für
z(t)=z(lnx)=y(x)übergehen.
1)2x^3y""+x^2y"'-7xy"+12y'=0
2)x^3y"'-x^2y"+xy'-y=0
könnt ihr mir dabei weiter helfen
Herzi |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Mai, 2001 - 22:01: |
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Hi Herzi,
Bei den von Dir vorgelegten Dgln.handelt es sich um
Eulersche Differentialgleichungen
Führt man die von Dir angegebene Substitution durch,
so erhält man je eine lineare Dgl. mit konstanten
Koeffizienten für y = y(z), die nach Schema leicht gelöst
werden kann.
Lösung der Teilaufgabe b)
Zur Substitution:
Aus x = e ^ z , z = ln x folgt für die Ableitungen von
y nach x folgendes:
y ' = 1/x * d y / dz , mit der Produktregel:
y '' = 1/x^2 * {d^2 y / d z ^ 2 } - 1 / x^2 * {dy / dz}
y ''' = 1/ x^3 * {d^3 y / d z ^ 3}- 3 / x^3 *{d^2 y / d z^2}+ 2 / x^3 * {dy / dz}
Setzt man dies in Deine zweite Dgl. ein., so kommt
für die Funktion Y = Y (z) , (Y ' = dy / dz ....) , die neue Dgl.
Y''' - 4 Y'' + 4 y' - Y = 0
Die charakteristische Gleichung
k^3 - 4 k^2 + 4 k - 1 = 0 hat die Lösungen:
k1 = 1 ,
k2 = ½ * ( 3+wurzel(5) ),
k3 = ½ * (3 - wurzel(5) )
Die beiden letzten Lösungen erinnern uns an die Teilung nach dem
goldenen Schnitt (sectio aurea).
Allgemeine Lösung für Y = Y(z):
Y = C1 * e ^ z + C2 * e ^ ( k1*z ) + C3 * e ^ ( k3 *z )
Substitution rückgängig gemacht:
y = C1 * x + C2 * x ^ (k1) + C3 * x^(k3) .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 07:04: |
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Hi Herzi,
Wenn in der Aufgabenstellung keine Vorschrift über
den Lösungsweg angegeben wird, lassen sich solche
Eulerschen Differentialgleichungen sehr elegant lösen.
Ich zeige Dir diese Methode, die ich stets anwende,
bei der Teilaufgabe b).
Wir substituieren y = x ^ r ; der Exponent r ist eine zu
bestimmende reelle Zahl.
Wir erhalten der Reihe nach die Ableitungen
y' = r*x^(r-1), y'' = r*(r-1)*x^(r-2), y''' = r*(r-1)*(r-2)*x^(r-3)
Wenn wir dies in die Dgl. einsetzen, hebt sich x^r weg,
und wir erhalten für r eine Gleichung dritten Grades,
die mit derjenigen für k aus meiner letzten Arbeit
übereinstimmt
Die Gleichung lautet in vereinfachter Form:
r ^ 3 - 4 * r ^ 2 + 4 * r - 1 = 0
Lösungen wie gehabt:
r1 = 1 ,
r2 = ½* ( 3+wurzel(5) ), r3 = ½* ( 3 - wurzel(5) )
allgemeine Lösung der Dgl.. durch Superposition der
Einzellösungen:
y = C1*x + C2*x^(r2) + C3*x^(r3) mit Ci als Integrationskonst.
Löse die Teilaufgabe a) zunächst auf diese Art !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 20:00: |
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Hi Herzi,
Lösung der Teilaufgabe a)
Zur Substitution:
Aus x = e ^ z , z = ln x folgt für die Ableitungen von
y nach x folgendes:
y ' = 1/x * d y / dz , mit der Produktregel:
y '' = 1/x^2 * {d^2 y / d z ^ 2 } - 1 / x^2 * {dy / dz}
y ''' = 1/ x^3 * {d^3 y / d z ^ 3}- 3 / x^3 *{d^2 y / d z^2}+ 2 / x^3 * {dy / dz}
y '''' = 1/ x^4* {d^4 y / d z^ 4)}- 6 */ x^4 * {d^3 y / dz ^3}
+ 11 * / x^4 * { d^2 y / d z ^2 } - 6 / x^4 * {dy / dz)
Setzt man dies in Deine erste Dgl. ein., so kommt
für die Funktion Y = Y (z) , (Y ' = dy / dz ....) , die neue Dgl.
2*Y ' ' ' ' - 11 * Y ' ' ' + 12 * Y ' ' + 9 * Y' = 0
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Die charakteristische Gleichung
2 * k ^ 4 -11* k ^ 3 + 12 * k ^2 + 9 * k = 0 hat die Lösungen:
k1 = 0 ,
k2 = - ½ ,
k3 = 3 und k4 = 3 als Doppellösung (!)
Allgemeine Lösung für Y = Y(z):
Y = C1 + C2 * e ^ ( - ½ *z ) + e ^ ( 3 * z ) * [ C3 * z + C4 ].
Substitution rückgängig gemacht:
y = C1 + C2 * x ^ ( - ½ ) + x ^ 3 * ( C3 * ln x + C4 )
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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