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Chris (Rothaut)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Mai, 2001 - 19:21: | 
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Hallo!
Ich hab da ein Problem....
Ich soll zeigen, daß für die Lösungen T der Gleichung T(adjungiert)FT=F mit T element End(V) und F element Aut(V) der Betrag der Determinante 1 ist. Ausserdem sollen sie eine Untergruppe bilden.
Mittlerweile weiss ich, daß diese wohl spezielle lineare Gruppe heißt, aber hab keine Ahnung wo ich nun anfangen soll ! Die Antwort muss nicht so ausführlich sein, nur ein paar Tips bitte.......danke :-)
Chris |
Yleph (Yleph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. August, 2001 - 09:09: |
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T(adj)FT = F => |det T|² * det F = det T(adj) * det F * det T = det T(adj)FT = det F
da |det T| = |det T(adj)| folgt |det T|² = 1
und wegen |.|>0 .|det T| = 1
Wir wollen zeigen, daß die Lösungen obiger Gleichung eine Untergruppe U von End V bilden. Dazu reicht zu zeigen, daß zu T,T' aus U immer TT' und die Inverse zu T (also ein Endomorphismus S aus U mit ST = TS = E).
Seien also T,T' aus U Endomorphismen für die gilt T(adj)FT=F und T'(adj)FT'=F. Dann ist (TT')(adj)F(TT') = T'(adj)T(adj)FTT' = T'(adj)FT' = F.
Weiterhin ist wegen |det T|=1 T regulär, dh. die Inverse S existiert. Es ist F = E(adj)FE = (TS)(adj)F(TS) = S(adj)T(adj)FTS = S(adj)FS. Also ist auch TT' und S aus U. damit ist U Untergruppe |
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