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Robert (Treborius)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Mai, 2001 - 14:04: | 
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Hallo alle zusammen,
Es sei A eine abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen metrischen Raumes X und f:A->A eine Abbildung. Es gebe eine Konstante k mit 0<=k<1, so dass
||f(x),f(y)|| <= k*||x,y|| für alle x,y el.A
Zeigen Sie:
-Es gibt genau ein a el.A mit f(a)=a.
-Für jedes x0 el.A konvergiert die durch
x(n+1) := f(xn), n el.IN definierte Folge gegen a.
Ich wäre sehr froh, wenn mir hierbei jemand helfen könnte. Treborius. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Mai, 2001 - 15:59: |
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Hallo :
1. Ann.: Es gibt 2 verschiedene Fixpunkte a,b :
Dann ist
0 < ||a-b|| = ||f(a)-f(b)||=<k||a-b||< ||a-b||,
Widerspruch!
2. Die Folge (x(n)) sei wie oben definiert. Man
zeigt leicht induktiv:
||x(n+k)-x(n+k-1)|| =< k^(n+k-1)*||x(1)-x(0)||.
Daher ist fŸr beliebige n,m
(Dreiecksungleichung !):
||x(n+m)-x(n)||=<||x(n+m)-x(n+m-1)||+...
+||x(n+1)-x(n)||
=< (k^(n+m-1)+...+k^n)||x(1)-x(0)||
= k^n*(1-k^m)/(1-k)*||x(1)-x(0)||.
Dies strebt bei beliebigem m mit n->oo nach 0.
Die Folge (x(n)) ist also eine Cauchyfolge, wegen
der Vollstaendigkeit von X also konvergent.
Der Grenzwert sei a. Dann ist f(a) = a.
Gruss
Hans |
Robert (Treborius)
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Mai, 2001 - 13:46: |
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Hallo Hans,
ich bin mir noch nicht ganz sicher ob ich alles verstanden habe, aber sieht gut aus.
Vielen Dank erst einmal.
Treborius. |
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