| Autor |
Beitrag |
    
Count Magistus
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Mai, 2001 - 10:22: | 
|
Sagt euch der Begriff Bahnhof irgendetwas? Mir ja, seit dieser Aufgabe:
Für zweimal differenzierbares u : OcR^n -> R sei Au:=Summe (i=1 bis n) (d^2/(dx^i)^2)*u der sogenannte "Laplace-Operator" von u. Sei f:R->R zweimal differenzierbar. Berechnen Sie Af(|x|) für x ungleich 0.
Zeigen Sie dann, daß für a aus R^n gilt:
A|x-a|^(2-n) = 0 (n>=3)
bzw. Aln|x-a| = 0 (n=2)
jeweils für x aus R^n{a}.
(Das A soll ein Dreieck darstellen, das wohl das Symbol für diesen Operator ist)
Vielleicht gibt es unter euch ein Genie, das mir diesen (Bahnhof) erklären kann. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Mai, 2001 - 14:24: |
|
Hallo :
Schreibe kŸrzer |x|=:r , r ist die euklidische
Norm, also
r = sqrt[sum(i=1..n)(x_i)^2].
Bezeichne D_i(f) die partielle Ableitung von f nach x_i.Dann ist nach der Kettenregel :
D_i(f) = f'(r)*(x_i/r)
(D_i)^2(f) = f"(r)*(x_i/r)^2+f'(r)*(r^2-x_i^2)/r^3
Bildet man hiervon die Summe Ÿber i=1,...,n, so
erhaelt man die Formel
Delta(f) = f"(r) + (n-1)*(1/r)*f'(r)
Im 1. Beispiel ist f(r) = r^(2-n) ==>
f'(r)= (2-n)r^(1-n) , f"(r) = (2-n)(1-n)r^(-n).
Im 2. Beispiel ist f(r) = ln(r) ==> f'(r) = 1/r,
f"(r) = - 1/r^2.
Gruss
Hans |
|
