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Beitrag |
    
Michaela
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Mai, 2001 - 23:21: | 
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1.) Die über einem Teil der reelen Achse definierte Funktion
f(x)= sin |x| 0 <= |x| <= pi/2
1 pi/2 < |x| <= pi
werde so auf die komplette reelle Achse fortgesetzt, dass eine Funktion mit der Periodenlänge 2pi entsteht. Diskutieren und skizzieren Sie den Verlauf dieser Funktion.
2.) Bestimmen Sie folgende Grenzwerte.
a) lim für x -> 1 (x^3 - 1) / ln x
b) lim für x -> 0 (1 - cos x ) / ( x^2 + sin^2 x)
c) lim für x -> unendlich ( pi / 2 – arctan x ) / ( ln (1 + 1 / x^2 ) )
d) lim für x -> 0 ( ( e ^ 3x ) – 1 ) / ( ln ( 1 + x ) )
e) lim für x -> pi ( pi - x ) * tan ( x / 2 )
3.) Die Anzahl z der Fahrzeuge, die eine bestimmte Straße stündlich passieren können, lasse sich aus der mittleren Geschwindigkeit v in m/s bei einer mittleren Fahrzeuglänge von 4m nach folgender Formel berechnen:
z (v) = 1000 * v
-------------------
4 + v/4 + v² / 12 .
a) Die Straße werde durchschnittlich mit v0 = 12 m/s passiert. Approximieren Sie z um v0 durch ein Taylorpolynom 2. Grades.
b) Welche Schlussfolgerungen lassen sich daraus für die Durchlassfähigkeit der Straße ziehen, wenn sich die Durchschnittsgeschwindigkeit gegenüber v0 erhöht?
c) Bei welcher Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h ist die Durchlassfähigkeit der Straße am größten?
Entschuldigt bitte den Umfang. Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke, Michaela. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Mai, 2001 - 08:18: |
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Hallo :
Ad 1.) Skizziere doch einfach mal den Graphen
Ÿber dem Intervall [-Pi , Pi], das sollte nicht
schwer sein. Die gesuchte Funktion entsteht daraus
durch "periodische Fortsetzung" um +- 2nPi, n in N.
Ad 2.) Hier geht es um die Regel von Bernoulli-de
l'Hospital : Wenn f,g differenzierbar und
g'(x) <> 0 in einer Umgebung von a, ferner lim(x->a)f(x)=lim(x->a)g(x) = 0 und
lim(x->a)[f(x)'/g'(x)] existiert, so ist
lim(x->a)[f(x)/g(x)] = lim(x->a)[f'(x)/g'(x)].
Also etwa
a) lim(x->1)(x^3-1)/ln(x) = lim(x->1)(3x)/(1/x)
= 3.
Der Rest geht genau so ( c) und d) kann ich nicht lesen).
3.) a) Das Taylorpolynom 2. Ordnung lautet formal
T_2(z,v_0) =
z(v_0) + z'(v_0)(v-v_0) + (1/2)z"(v_0)(v-v_0)^2
Rechne nach, dass
T_2(z,12) =
1000*{12/19 - (8/361)(v-12) - (1/6859)(v-12)^2}
c) Rechne nach, dass
z'(v) = 12000*(48 - v^2)/(v^2 + 3v + 48)^2
Daraus folgt, dass z(v) genau bei v = sqrt(48)
ein Maximum besitzt.
Gruss
Hans |
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