| Autor |
Beitrag |
    
Miriam (Mmemim)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Mai, 2001 - 16:36: | 
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Hi Ihr!
Hilfe hab keine Ahnung wie das gehen soll:
1. Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn ein Winkel und sein Gegenüber zusammen 180° ausmachen. Beweisen Sie!
2. Ein Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summen von je zwei Gegenseiten gleich sind. Warum ist das so?
Gruß Miriam |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Mai, 2001 - 16:54: |
|
Hallo :
Ich befasse mich ausfŸhrlicher mit 2.
Sei also ABCD ein konvexes Viereck. Es geht um
die beiden Aussagen
(1) ABCD ist Tangentenviereck (2) AB+CD=BC+DA.
Man soll zeigen : (1) <==> (2)
(1) ==> (2) : ABCD hat nach Vor. einen Inkreis k.
Es seien P,Q,R,S die BerŸhrpunkte von AB,BC,CD,DA
mit k. Sei AP =:a, BQ =:b, CR =:c, DS =: d.
Weil die Tangentenstrecken von einem Punkt ausserhalb eines Kreises an den Kreis gleiche
Laenge haben, gilt folglich auch PB = b, QC = c,
RD = d , SA = a. Es folgt
AB + CD = a+b+c+d = b+c+d+a = BC + DA.
(2) ==> (1) Angenommen, fŸr ein konvexes Viereck
ABCD gelte (2). Betrachte den Kreis k, welcher die
Strecken AB,BC und DA berŸhrt. Die Tangente von C an k treffe AD in E. Dann ist ABCE ein Tangentenviereck, nach dem oben Bewiesenen ist also AB + CE = BC + EA. Nehmen wir etwa an, dass
AE < AD. Wegen (2) folgt dann ED = AD-AE = CE-CE
==> CD = CE+ED. Nach der Dreiecksungleichung ist andererseits CE+ED > CD : Widerspruch. Ebenso
erledigt man die Annahme AE > AD. Also AE = AD
==> D=E, d.h. ABCD ist Tangentenviereck.
Bei 1. geht man entsprechend vor, nur muss man
jetzt die einschlaegigen (von der Schule her
bekannten) Kreiswinkelsaetze benutzen, z.B:
Der Peripheriewinkel Ÿber einem geg. Bogen ist gleich dem entsprechenden Sehnen-Tangentenwinkel.
Daraus folgt dann sofort, dass sich die Gegenwinkel in einem Sehnenviereck jeweils zu 180
Grad ergaenzen.
Versuche, den Beweis selbst zu konstruieren.
Have fun
Hans |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Mai, 2001 - 16:56: |
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Hallo :
Ich befasse mich ausfŸhrlicher mit 2.
Sei also ABCD ein konvexes Viereck. Es geht um
die beiden Aussagen
(1) ABCD ist Tangentenviereck (2) AB+CD=BC+DA.
Man soll zeigen : (1) <==> (2)
(1) ==> (2) : ABCD hat nach Vor. einen Inkreis k.
Es seien P,Q,R,S die BerŸhrpunkte von AB,BC,CD,DA
mit k. Sei AP =:a, BQ =:b, CR =:c, DS =: d.
Weil die Tangentenstrecken von einem Punkt ausserhalb eines Kreises an den Kreis gleiche
Laenge haben, gilt folglich auch PB = b, QC = c,
RD = d , SA = a. Es folgt
AB + CD = a+b+c+d = b+c+d+a = BC + DA.
(2) ==> (1) Angenommen, fŸr ein konvexes Viereck
ABCD gelte (2). Betrachte den Kreis k, welcher die
Strecken AB,BC und DA berŸhrt. Die Tangente von C an k treffe AD in E. Dann ist ABCE ein Tangentenviereck, nach dem oben Bewiesenen ist also AB + CE = BC + EA. Nehmen wir etwa an, dass
AE < AD. Wegen (2) folgt dann ED = AD-AE = CE-CE
==> CD = CE+ED. Nach der Dreiecksungleichung ist andererseits CE+ED > CD : Widerspruch. Ebenso
erledigt man die Annahme AE > AD. Also AE = AD
==> D=E, d.h. ABCD ist Tangentenviereck.
Bei 1. geht man entsprechend vor, nur muss man
jetzt die einschlaegigen (von der Schule her
bekannten) Kreiswinkelsaetze benutzen, z.B:
Der Peripheriewinkel Ÿber einem geg. Bogen ist gleich dem entsprechenden Sehnen-Tangentenwinkel.
Daraus folgt dann sofort, dass sich die Gegenwinkel in einem Sehnenviereck jeweils zu 180
Grad ergaenzen.
Versuche, den Beweis selbst zu konstruieren.
Have fun
Hans |
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