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Mysteriöse Reihenentwicklung

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MartinB
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Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 14:55:   Beitrag drucken

Die Aufgabe, mit der ich nicht weiterkomme, lautet:

Man ermittle folgende Reihensumme als speziellen Wert einer elementaren Funktion:

1/2! + 2/3! + 3/4! + 4/5! + 5/6! + ... = 1

Ich habe keine Ahnung, um welche Funktion es sich handeln könnte (sieht ja so ähnlich aus wie die Exponentialreihe, aber eben nur so ähnlich). Vielleicht sind auch Kombinationen elementarer Funktionen möglich.

In die Kategorie "elementare Funktionen" fallen: Geometrische Reihe, Binomialreihe, Exponentialfunktion, Logarithmus, trigonometrische Funktionen, Arkusfunktionen.

Ich würde mich über jede Hilfe freuen.

Ciao, Martin
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 15:36:   Beitrag drucken

Hi

Versuch's mit dem Ansatz
ak = k * x ^ k / (k +1)!
als allgemeines Glied einer unendlichen Reihe
für k = 1 bis unendlich.
Ermittle die Summe S = [1- e ^ x* (1 - x) ] / x
und setze im nachhinein x = 1
Das sollte funktionieren; mehr verrate ich vorläufig nicht.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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MartinB
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Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 16:17:   Beitrag drucken

Wie bitte?

Vielleicht könntest Du doch ein wenig ausführlicher sein (bitte, bitte, bitte!), habe bei dieser Aufgabe wirklich eine Denkblockade!

Ciao, Martin
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 20:10:   Beitrag drucken

Hi MartinB,

Wir wollen uns etwas einfallen lassen !
Wir schreiben die Reihenentwicklung für e^x an:

e^x = 1 + x + x ^ 2 / 2! + x ^ 3 / 3! + x ^ 4 / 4! +...........................(1)
Daraus entsteht durch Multiplikation mit x die Reihe für x*e^x:
x*e^x = x + x ^ 2 / 1! + x ^ 3 / 2! + x ^ 4 / 4!+.............................(2)
Wir bilden die Differenz (2) -(1) und erhalten für x e^ x - e ^ x:
x*e^x - e^x = -1 + 1* x^2 / 2! +2*x ^ 3 / 3! + 3 *x ^ 4 / 4! + ........(3).
Jetzt addiere wir 1 auf beiden Seiten; es kommt:
x*e^x - e^x +1 = 1*x ^ 2 / 2! + 2* x^3 /3! + 3* x ^ 4 / 4! + ........(4)
Nun dividieren wir beide Seiten durch x und erhalten:
(x*e^x -e^x+1) / x = 1 * x / 2! + 2*x ^ 2 / 3! + 3 * x ^ 3 / 4! +... (5)

Mit dieser Entwicklung (5) sind wir am Ziel angelangt.
Für x = 1 entsteht die von Dir vorgelegte Reihe.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Ingo (Ingo)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Mai, 2001 - 18:14:   Beitrag drucken

Hätte da noch eine wesentlich einfachere Lösung zu bieten :

n/(n+1)! = (n+1-1)/(n+1)! = (n+1)/(n+1)! - 1/(n+1)! = 1/n! - 1/(n+1)!

Demzufolge ist
S¥ n=1 n/(n+1)! = S¥ n=1 (1/n! - 1/(n+1)! )

In dieser Summe heben sich stets zwei aufeinanderfolgende Summanden auf und es bleibt als ergebnis 1/1! = 1
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Mai, 2001 - 19:16:   Beitrag drucken

Hi Ingo,

Deine Methode zur Ermittlung der Summe ist tatsächlich
kurz und bündig.
Meine Anerkennung !
Mit dieser Methode ist aber die Kernfrage der Aufgabe,
welche spezielle Funktion hier auftrete und wie der
entsprechende Term laute, nicht beantwortet
Deine Lösung ist trotzdem schön

Mit freundlichen Grüssen
H..R.Moser,megamath.

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