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Beitrag |
    
andi
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 07:44: | 
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Berechne den von der jeweiligen Kurve eingeshlossenen Flächeninhalt mit Hilfe der angegebenen Substitution:
a) elipse: x²/a²+y²/b²=1 (x=r*a*cos(t), y=r*b*sin(t)), für (0<r=<1, 0=<t=<2pi)
b) lemniskate: (x²+y²)²=xy (x=r*cos(phi), y=r*sin(phi)), für (0<r=<1, 0=<phi=<pi/2) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Mai, 2001 - 07:30: |
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Hi andi,
Lösung der Teilaufgabe b)
Wir finden leicht die Gleichung der gegebenen Lemniskate
in Polarkoordinaten r und phi , indem
wir für x^2 + y^2 = r^2 und für x*y = r^2*sin(phi)*cos(phi)
in die Koordinatengleichung einsetzen und den Faktor r ^ 2
wegkürzen.
Die Gleichung in Polarkoordinaten lautet demnach:
r^2 = sin(phi) * cos(phi) = ½* sin ( 2*phi )
Für den Flächeninhalt A brauchen wir gerade r^2 , sodass
aus A = ½ * int [r^2*d(phi)] entsteht:
A = ¼*int[sin(2*phi) * d(phi)],untere Grenze 0,obere Grenze Pi/2
- ½*cos(2*phi) ist eine Stammfunktion des Integranden
sin(2*phi).
Schliesslich erhalten wir für die gesuchte Fläche A = 1/8 + 1/8,also
A = ¼ .
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Mai, 2001 - 08:24: |
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Hi andi,
Teilaufgabe a)
Die angegebene Parametergleichung der Ellipse lautet richtig so:
x = a* cos t , y = b* sint
Wir berechnen die Fläche V der Viertelellipse im erste Quadrant.
Auflösung der Koordinatengleichung der Ellipse nach y:
y = b / a * wurzel ( a ^ 2 - x ^ 2 ) ;
somit bekommen wir V = b/a * int[wurzel(a^2 - x^2) * dx]
untere Grenze 0 , obere Grenze a .
Aus der angegebene Substitutionsgleichung x = a * cos t
folgt mit dx = - a * sin t * dt :
V = - b/a * int [ wurzel {.a ^ 2 - a ^ 2 * (cos t ) ^2 } * a * sin t * dt ] =
- a * b * int [ (sin t ) ^ 2 * dt ]
Die Grenzen : untere Pi / 2 , obere 0.
Wir vertauschen die Grenzen und ersetzen gleichzeitig den Faktor -1
durch plus 1.
Eine Stammfunktion von (sin t ) ^ 2 ist ½ * (x - sin x * cos x) , sodass schliesslich V = a * b * ¼ * Pi entsteht
Die Gesamtfläche A der Ellipse ist somit A = 4*V , also:
A = Pi * a * b
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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