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Beitrag |
    
Erich
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 18:25: | 
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Problem
Man suche fünf unabhängige Lösungen von
y""'+y""+y"'+y"+y'=0
Ich hab keine Ahnung wie das gehen soll
erich |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 10:34: |
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Hallo :
Der Ÿbliche Ansatz
(1) y(t) = exp(r*t)
fŸhrt auf die charakteristische Gleichung
(2) r^5 + r^4 + r^3 + r^2 + r + 1 = 0
Das ist dasselbe wie
(3) r^6 - 1 = 0 und r <> 1,
d.h. die Loesungen von (2) sind die von 1 verschiedenen 6-ten Einheitswurzeln
(4) r_k = exp(k*Pi*i/3) , k = 1,2, 3, 4, 5
Damit sind die 5 Fundamentalloesungen gefunden.
Du kannst sie in expliziter Form leicht selbst
aufschreiben.
Gruss
Hans |
Xell
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 11:33: |
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Nicht dass ich mich damit auskenne, aber ist y=0 nicht auch eine Lösung? ^_^
mfG |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 11:39: |
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Hi Hans
Duplizität der Fälle ; schon wieder divergieren
unsere Meinungen.
Ich habe soeben die DGl von Erich gelöst und bin
von der charakteristischen Gleichung
k^5 + k^4 + k^3 + k^2 + k = 0 aus gegangen.
Nach Abspalten der Lösung k = k1 = 0 erhält man eine
sogenannte Kreisteilungsgleichung; im vorliegendn Fall:
k ^ 4 + k ^ 3 + k ^2 + k + 1 = 0 ,welche z.B. bei der Berechnung
der Zehnecksseite aus dem Umkreisradius mit r =1
eine Rolle spielt
Selbstverständlich tritt dabei auch die Teilung nach dem goldenen
Schnitt auf.
Die Lösungen in nicht trigonometrischer Form lauten
k2 = u + i v , k3 = u - i v
k4 = r + i s, k5 = r - i s
mit
u = ¼ * (wurzel(5)-1),
v = ¼ * wurzel(2) * wurzel ( 5 +wurzel(5))
r = ¼ * ( - wurzel(5) - 1)
s = ¼ * wurzel(2)* wurzel ( 5 - wurzel(5))
Aus diesen Bausteinen lassen sich leicht fünf linear unabhängigen
Lösungen anschreiben
Eine Kontrolle mit Maple zeigt: alles o.k. !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 18:04: |
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Sorry, ich habe offenbar flŸchtig gelesen und
im Unterbewusstsein noch ein y auf der linken
Seite erwartet.
y = 0 ist die triviale Loesung, welche nichts in
einem Fundamentalsystem zu suchen hat (sonst
waere dieses linear abhaengig). |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 10:36: |
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Hi Erich,
Nach den vorausgehenden Intermezzi ist es für Dich sicher
hilfreich, wenn ich Deine Aufgabe von Grund auf vorlöse.
Wir gehen aus von der charakteristischen Gleichung
k^5 + k^4 + k^3 + k^2 + k = 0 .
Nach Abspalten der Lösung k = k1 = 0 erhält man eine
Gleichung vierten Grades, nämlich:
k ^ 4 + k ^ 3 + k ^2 + k + 1 = 0
Eine Methode zur Auflösung dieser Gleichung mit elementaren
algebraischen Mitteln zeige ich Dir im Anhang.
Die Lösungen in nicht trigonometrischer Form lauten
k2 = u + i v , k3 = u - i v
k4 = r + i s, k5 = r - i s
mit
u = ¼ * (wurzel(5)-1),
v = ¼ * wurzel(2) * wurzel ( 5 +wurzel(5))
r = ¼ * ( - wurzel(5) - 1)
s = ¼ * wurzel(2)* wurzel ( 5 - wurzel(5))
Aus diesen Bausteinen lassen sich leicht die verlangten fünf linear
unabhängigen Lösungen anschreiben.
Die allgemeine Lösung mit den Integrationskonstanten
C1,C2,C3,C4,C5 lautet:
Y = C1 + e ^ (u x) * [C2* cos(v x) + C3*sin(v x) ]
+ e ^ (r x) * [C4* cos(s x) + C5 * sin (s x)]
Auflösung der Kreisteilungsgleichung
k ^ 4 + k ^ 3 + k ^ 2 + k + 1 = 0
Wie man durch Einsetzen sofort bestätigt, gilt
k ^ 4 = 1 / k , k ^ 3 = 1 / k ^ 2 , insbesondere auch k ^ 5 = 1
Von den fünf Einheitswurzeln, welche alle diese Gleichungen
befriedigen, ist bei unserer Gleichung allerdings k = 1
auszuschliessen.
Anstatt mittels der trigonometrischen Methode die übrigen vier
Einheitswurzeln zu bestimmen, wählen wir einen anderen Weg:
Wir substituieren z = k + 1/k , also z^2 = k^2 +2 +1 / k^2.
Die gegebene Gleichung dividieren wir mit k^2: wir erhalten:
k ^ 2 + k + 1 +1 / k +1 / k ^ 2 = 0, in der neuen Variablen z also:
z ^ 2 - 2 + z + 1 = 0 oder
z^2 + z - 1 = 0 mit den Lösungen (goldener Schnitt!)
z1 = ½ * (-1+wurzel(5)) = 2 cos(2* Pi/5) ~ 0,618 und
z2 = ½ * (-1-wurzel (5)) = 2 cos(4* Pi/5) ~ - 1,616
Um die vier Lösungen für k zu erhalten, müssen wir die
Substitutionsgleichung z = k + 1/k nach k auflösen und obige
z-Werte einsetzen.
Wir erhalten aus k^2 - z * k + 1 = 0 zunächst
kI = ½ * [z + wurzel(z^2-4)] und kII = ½ * [z - wurzel(z^2-4)]
Die Berechnung von T = z^2 - 4 ergibt: durch Ersetzen von
z ^ 2 durch 1 - z gemäss der quadratischen Gleichung für z:
T1 = ½ * [-5 - wurzel(5)] bezw. T2 = ½* [- 5 + wurzel(5)]
Daraus lassen sich die vier Werte für k leicht berechnen;
sie stimmen mit den früher angegebenen Werten überein.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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