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Potenzregeln im Körper

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Prof (Bieri)
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 11:13:   Beitrag drucken

Folgende Aufgabe ist zu lösen:
Beweisen Sie im Körper (K,+,*) die Potenzrechenregeln: Für a und b aus K und m,n=0,1,2,... sowie a!=0 (ungleich) und b!=0 aus K und m,n E Z gilt:
(a) a^m*a^n=a^(m+n)
(b) (a^m)^n=a^(m*n)
(c) a^n*b^n=(a*b)^n
Bin auf die Lösung gespannt.
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holger
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 17:29:   Beitrag drucken

Hallo Professor Bieri,
die Potenzrechenregeln? na warum nicht.

Die Pontenzschreibweise definiere ich rekursiv:
a^1 = a; a^(n+1) = a^n*a

(a)
Der Beweis von a^m*a^n = a^(m+n) folgt für n = 1 damit aus der Definition.
Der Rest ist vollständige Induktion.
I.V.: a^m*a^k = a^(m+k)
I.S.: a^m*a^(k+1) = a^m*a*a^k = a^(m+1)*a^k =
a^(m + k + 1)

(b)
(a^1)^1 = a^1 folgt aus der Definition.
I.V.: (a^m)^k = a^(m*k)
I.S.: (a^m)^(k+1) = (a^m)^k*a^m = a^(m*k + m) =
a^(m*(k +1))

(c)
a^1*b^1 = (a*b)^1 folgt aus der Definition.
I.V.: a^k*b^k = (a*b)^k
I.S. a^(k+1)*b^(k+1) = a^k*b^k*a*b = (a*b)^k*a*b = (a*b)^(k+1)

-holger
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Grasmo (Grasmo)
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 21:59:   Beitrag drucken

Hy!

Das Problem ist nur, dass m und n aus Z sind, somit sind es pro Aufgabe 4 verschiedene Beweise: m & n > 0; m & n < 0; m>0, n<0; n>0, m<0;
Ich würde a^n übrigens über das Produkt definieren:
a^n := PRODUKT(i= 1, n, a) lies: Produkt von i = 1 is n über a: a*a*a...*a (n-mal!)
Das einmal induktiv beweisen (ist recht einfach).
Jetzt lässt sich der Rest relativ einfach als folge des eben geschriebenen sehen.

Gruß
Grasmo!

PS: kickme.to/analysis
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Grasmo (Grasmo)
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 22:04:   Beitrag drucken

Ach ja...

Das, was holger geschrieben hat, geht auch nicht so ohne weiteres: Man muss alles per doppelter Induktion beweisen, über m und k(bzw. n). Meinte zumindest mein Tutor.

Gruß nochmals
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yassi
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Veröffentlicht am Montag, den 21. Mai, 2001 - 15:28:   Beitrag drucken

(K,+,*)ist ein körper d.h alle körper axionen sind erfhült.
a^n=a^n-1.a
A/a^n.a^m=a^m+n ?
i/sei m fest,n variabl/n,m EN+{0}
für n=0, a^0.a^m=1.a^m=a^m+0
für ein n, a^n.a^m=a^m+n
a^n+1.a^m=a^n.a^1.a^m=a^n.a^m+1=a^m+n+1 (M=m+1)
ii/sei n fest,m variabl/n,m E N+{0}
für n=0,a^n.a^0=a^n.1=a^n+0
für ein m, a^n.a^m=a^m+n
a^n.a^(m+1)=a^n.a^m.a^1=a^n+1.a^m=a^m+n+1 (N=n+1)
iii/sei m fest,n variabl/m,n E Z-{0}
wenn n>0,analog i/
wenn n<0,a^n.a^m=a^m+n <=> 1/a^n.1/a^m'=1/a^m'+n(n>0) analog i/
iiii/sei n fest, m variabl/n,m E Z-{0}
analog
B/ seh A/
C/ a^n.b^n=(a.b)^n ?
i/nE N+{0}
für n=0 a^0.b^0=1=(a.b)^0
für ein n, a^n.b^n=(a.b)^n
a^n+1.b^n+1=a^n.b^n.a.b=(a.b)^n.(a.b)^1=(a.b)^n+1
ii/n E Z
analog .


ich hab's kurz gemacht.ich warte auch gespant auf die antwort Pro.(Bieri)

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