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Lars (Fischtowner)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Mai, 2001 - 10:52: | 
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Hallo!
Da bei meiner bisherigen Fragestellung noch niemand so richtig weiterhelfen konnte, stelle ich meine Frage nun mal anders:
Ist ein (beliebiger) Isomorphismus i reflexiv? Ja, werdet ihr antworten, aber wie zeigt man das?
Gruss, Lars |
Thorsten (Thorsten)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Mai, 2001 - 12:25: |
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Sei M eine Menge deren Elemente z.B.Vektorräume
A,B sind.
Vermöge Isomorphie wird dann auf M eine Äquivalenzrelation definiert.
Deshalb ist Deine Frage "Ist jeder Isomorphismus reflexiv?" falsch gestellt.
Betrachte die Abbildung
Id : A -> A mit Id(A) = A.
Offensichtlich ist doch die Identität ein Isomorhismus,oder?
Da es ein Id^-1 (nämlich Id) gibt, ist die Relation reflexiv, denn es ist:
Id^-1 : A -> A
Gruß
Thorsten |
Lars (Fischtowner)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Mai, 2001 - 21:24: |
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Hallo Thorsten!
Mein Problem ist aber, dass ich eben keine spezielle Relation vorliegen habe. Vielleicht habe ich durch die falsche Verwendung des Begriffs Isomorphismus Verwirrung gestiftet. Der zu beweisende Satz lautet nämlich:
Die Isomorphie (z.B. zwischen zwei Vektorräumen M und M') ist eine Äquivalenzrelation.
Sorry, sollte ich auch genau lesen. Das Problem bleibt trotzdem.
Gruß, Lars |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 01:10: |
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Hallo Lars
Es gibt zunächst mal ein kleines Mißverständnis bzgl. der Begriffe: Ein Isomorphismus ist keine relation, sondern eine Abbildung, daher ergibt dafür der Begriff einer Äquivalenzrelation keinen Sinn.
Es ist:
zwei Vektorräume V,W heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus f:V->W gibt. Resümieren wir, was ein Isomorphismus f ist: d.h., dass f bijektiv und ein Homomorphismus (linear) ist.
Der Sinn an der Sache ist, dass man bei Äquivalenzrelationen die ursprüngliche Menge partitioniert, und dann die zueinander äquivalenten (in diesem Fall) Vektorräume als gleich betrachtet.
Da Du erstmal nur nach Symmetrie gefragt hast, und es schon rel. spät ist, beantworte ich zunächst das. Wenn weitere fragen auftauchen, beantworte ich sie gern.
Also, V steht in Relation zu W, wenn es einen Isomorphismus f:V->W gibt. f ist per Definition bijektiv, also gibt es eine Umkehrabbildung f-1. Dass f-1 ein Homomorphismus (linear) ist, ist meistens eine der srten Übungsaufgaben. Also gibt es einen Isomorphismus f-1:W->V, somit steht W in Relation zu V. Nochmal kurz formal gechrieben (die Relation als R) gilt: VRW=>WRV.
viele Grüße
SpockGeiger |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 20:54: |
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Der Begriff der Isomorphie taucht in den unterschiedlichsten Bereichen der Mathematik auf. Es gibt beispielsweise isomorphe Gruppen, Körper, Verktorräume, Graphen u. s. w.
Allgemein heißen zwei Strukturen (die dieselben Operationen aufweisen) "isomorph", wenn es eine bijektive Abbildung zwischen den Trägermengen gibt, die die Operationen "erhält".
Insbesondere ist eine Struktur immer isomorph zu sich selbst - ganz gleich, wobei es sich dabei handelt. Der Isomorphismus ist nämlich die identitische Abbildung.
"Isomorphie" ist also immer eine reflexive Relation. |
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