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Beitrag |
    
Sandra (Sandra24)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 22:35: | 
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eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 5% aller fuer den flug gebuchten Passagiere nicht zum abflug erscheinen. sie überbucht daher den flug mit 50 Plätzen, indem sie 52 Tickets verkaft
wie gross ist die w. dass ein passagier nicht befoerdert wird, obwohl er ein reguläres tickethat? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Mai, 2001 - 07:40: |
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Hi Sandra,
Zur Lösung Deiner Aufgabe benützen wir die
Bernoulli-Formel, gültig bei Normalverteilungen.
Der Binomialkoeffizient "n tief k" ( "n über k" )
sei im folgenden mit (n, k ) bezeichnet
Trefferwahrscheinlichkeit "kein Platz":
p = 0,05 (5%),
Gegenwahrscheinlichkeit q = 1 - p = 0,95
Wir lösen vier Teilaufgaben und berechnen
die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten
p1, p2, p3, p4.
a) alle 52 Personen erscheinen:
p1 = (52,0) * 0,05 ^ 0 * 0,95 ^ 52 = 0,95 ^ 52 ~ 0,0694
b) genau eine Person erscheint nicht:
p2 = (52,1) * 0,05 ^ 1 * 0,95 ^ 51 = 52 * 0,05* 0,95^51 ~ 0,1901
c) alle finden Platz
p3 = 1 - p1-p2 ~ 0,7405
d) nicht alle finden Platz:
p4 = p1 + p2 ~ 0,2595
Das sollte genügen!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Mai, 2001 - 15:35: |
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Hallo :
Ich glaube nicht, dass diese Aufgabe etwas mit der
Binomialverteilung zu tun hat.
Betrachten wir folgende Ereignisse :
A: Ein zufaellig herausgegriffener Ticketholder
erscheint beim Checkin.
B: FŸr einen zufaellig herausgegriffenen Ticket
holder ist kein Platz in der Maschine.
Gesucht ist P(A & B). Nach Def. der bedingten
Wahrscheinlichkeit ist
P(A & B) = P(A)*P(B | A).
Nun ist P(A) = 0.95 und ferner
P(B | A) = P(B) = 2/52
denn die Ereignisse A und B sind offenbar
unabhaengig.
Habe ich etwas falsch verstanden ?
Hans |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Mai, 2001 - 20:23: |
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Hi Hans,
Beim Lösen von Aufgaben aus der Stochastik können sich
Unsicherheiten und damit Verunsicherungen einstellen.
So geschehen bei der vorliegenden Aufgabe bei der Frage,
ob die Zufallsvariable binomialverteilt ist..
Nimmt man dies an, so stellt sich sofort die Frage nach einer
Begründung.
Bei meiner Lösung habe ich ohne Skrupel die Binomialverteilung
vorausgesetzt; erst auf Deinen (berechtigten?) Einwand hin
habe ich die Aufgabe näher überprüft und ganz ähnliche Aufgaben
in renommierten Lehr- und Uebungsbüchern gefunden
Auch in früheren Maturitätsprüfungen verschiedener Schulen traten
solche Aufgaben gelegentlich auf.
In den von den Autoren verfassten Lösungen
(inkl..den Maturaufgaben) wird grundsätzlich und ausnahmslos
von der Binomial- oder von der Normalverteilung
Gebrauch gemacht.
Ich zitiere hier zwei Beispiele.
Damit die Studierenden profitieren können ,füge ich die
von den Verfassern erstellten Lösungen bei.
Hoffentlich sind sie richtig !
1.Beispiel
entnommen aus dem Standardwerk von Arthur Engel, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik,
Klett Studienbücher , 1.Auflage, p.120
Text
4% aller Fluggäste ,die Plätze reservieren, erscheinen nicht.
Die Fluggesellschaft weiss dies und verkauft 75 Flugkarten für 73
verfügbare Plätze.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Fluggäste Platz
bekommen ?
Löse die Aufgabe exakt mit der Binomialverteilung
und mit der Poisson-Näherung
Exakte Lösung:
Es sei X die Anzahl der nicht erscheinenden Fluggäste.
P(X>=2) = 1 - P (X< =1) = 1 - 0,96^75-75*0,96^74*0,04 =
=1-3,96*0,96^74 = 0,8069.
Nach Poisson:
n = 75, p = 0,04, Lambda = L = n* p = 3.
P( X > = 2 ) = 1 - P( X< = 1 ) = 1-e ^ (-3) - 3* e^(-3) =
= 1 - 4 * e ^ ( - 3 ) = 0,80085.
2.Beispiel
Abitur Training
Alfred Müller , Stochastik
Aufgaben mit Lösungen
Mathematik Leistungskurs
Stark-Verlag
( Aufgabe 107 / 3.a) , p.103 )
Text
In der Hauptreisezeit werden die Besucher nach S mit einem
Grossraumflugzeug befördert, das 330 Plätze besitzt.
In der Regel werden 8% der Buchungen kurzfristig wieder
rückgängig gemacht.
Wieviele Buchungen dürfen angenommen werden,
damit das Platzangebot mit einer Wahrscheinlichkeit von
99% reicht ?
Lösung
Die Zufallsgrösse F gebe die Anzahl der Personen an,
die zum gebuchten Flug erscheinen.
F ist binomial verteilt mit p = 0,92.
Es muss gelten:
P (F >330) =B(n;0,92)(F>330) < = 0,01
1 - B(n;0,92)(F<=330) < =0,01
B(n;0,92)(F<=330) > = 0,99.
Mit m(mü) = n * p= 0,92 * n und
s(sigma) =wurzel(n*p*(1-p)) = 0,27 * wurzel(n)
und der Näherung von Moivre - Laplace mit der Normalverteilung
erhält man:
PHI [ (330 -0,92*n + 0,5) / 0,27*wurzel(n) ] >=0.99
[(330 - 0,92*n +0,5) / 0,27* wurzel (n) > = 2,3264.
330 - 0,92*n +0,5 > = 0,63* wurzel n
92 * n + 0,63 * wurzel (n) - 330,5 <= 0
Man erhält ein quadratische Gleichung für wurzel(n)
Lösung: wurzel (n) = 18,61, daraus n =346,49
Es dürfen höchstens 346 Buchungen angenommen werden.
Die Sammlung mit solchen Beispielen kann fast beliebig
verlängert werden.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 09:08: |
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Hast natŸrlich Recht. Beim erneuten Lesen bemerke ich nun, dass ich eine andere Aufgabe als die gestellte gelšst habe. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 09:09: |
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Hast natŸrlich Recht. Beim erneuten Lesen bemerke ich nun, dass ich eine andere Aufgabe als die gestellte geloest habe. |
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