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Beitrag |
    
Stefan Müller (Dasfragezeichen)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 12:02: | 
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Die Normalverteilung ist festgelegt durch die GAUSS'sche Glockenkurve.
Die Standardnormalverteilung ist in den meisten Formelheften tabelliert - wie aber würde der exakte Rechenvorgang aussehen, damit man auf diese Tabellenwerte kommt?
Wie beweise ich z.B. rechnerisch, dass Phi(0,00) = 0,5?
Hintergrund meiner (vielleicht dummen - doch ich komm nicht drauf - einfaches einsetzen in die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, ist nicht zielführend) Frage ist die Realisation eines TR-Programmes, welches die Stochastik-Tabelle überflüssig macht.
danke im Voraus |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 14:04: |
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F (oder erf(x) für Errorfunction, wie es oft in der englischen Literatur heißt) ist folgendermaßen definiert (bis auf Vorzeichen, aber die Spielen keine Rolle ausser für Normierungszwecke, da die gesamt Wahrscheinlichkeit auf 1 normiert ist):
F(x)=
lim òa xe-z2*dz
a®-¥
Man weiß, dass e-x2 stets positiv und symetrisch ist. Daraus folgt, dass der Flächeninhalt der Fläche unter e-x2 im zweiten Quadranten genausogroß sein muss, wie im der unterm Grafen im ersten Quadranten! Da
lim F(x)=1 (anders als hier) also auf 1
x®¥
normiert ist und die Flächenstücke im ersten und zweiten Quadranten gleichgroß sind muss F(0)=1/2=0,5
Aber dein Programm kannst du ganz schnell vergessen, denn
lim òa xe-z2*dz=F(x)
a®-¥
ist nicht integralfrei darstellbar! (Gleichwohl ist ò F(x)*dx sehr wohl integralfrei darstellbar. Ich finde das interessant)
Also viel Spaß beim Tabellendurchstöbern! |
Stefan Müller (Dasfragezeichen)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 16:10: |
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Deine Formel ist schön - Danke für den entscheidenden Hinweis.
Trotz deines motivierenden Abschlussschlachtruf habe ich es, der nichtswissende Mathematiker, dessen beste Note eine 2 ist und der gerade eben die Matura(Abi) mit 3 abgeschlossen hat, gewagt mich über deinen Ruf hinwegzusetzen und glaube tatsächlich mit Erfolg.
Mit der Chebyev (http://www.fi.uib.no/~ladi/reduce/Reduce/chebyshev_fit.html)
Ich habe im Netz dazu einen SourceCode gefunden und ihn nach DERIVE übersetzt hier in JavaScript:
function erf(x) {
// Definition des Chebiev Fits
var a = new Array(-1.26551223,1.00002368,0.37409196,0.09678418,-0.18628806,0.27886807,-1.13520398,1.48851587,-0.82215223,0.17087277);
var z = Math.abs(x/1.414213); // Normierung
var t = 1/(1+0.5*z)
// Operation
var r = Math.exp(-z*z+a[0]+t*(a[1]+t*(a[2]+t*(a[3]+t*(a[4]+t*(a[5]+t*(a[6]+t*(a[7]+t*(a[8]+t*a[9])))))))));
if(x<0) r = 2-r;
return 1-r/2;
}
Die Werte weichen bei diesem JavaScript zwar unerklärlich hoch von den Tabellen ab. Beim TI-92 Programm sind sie bis auf z=0 ziemlich ident (hw. arbeitet der Computer genauer).
mfg |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Mai, 2001 - 17:18: |
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Da keine Schleife in deinem Programm ist, und t in steigender Potenz aufgeführt ist, nehme ich an, dass diese Formel der Anfang einer Potenzreihe ist (vieleicht nach Tayler oder (Spezialfall) McLaurin). Potenzreihen stellen zwar eine exakte Lösung dar, aber nur dann, wenn ein Bildungsgesetz für die Koefizienten gefunden wird, das alle Koefizienten bis ins unendliche beschreibt; exakt sind Potenzreihen (in der Regel) nur, wenn sie tatsächlich alle Potenzen von t von 0 bis "¥" enthalten. Deine Formel ist daher nur eine angenäherte Potenzreihe, die nicht F ist sondern eine Nährung.
Als Potenzreihen ist F zwar integralfrei, aber du zahlst den Preis der Unendlichkeit, wenn du die Funktion exakt haben willst.
Trotzdem ist dein Programm für die Nährung wahrscheinlich gut genug. Ich hatte wirklich nicht an eine Potenzreihenexpansion von F gedacht, aber man erlebt immer wieder Überraschungen... |
Stefan Müller (Dasfragezeichen)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 23:02: |
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Mir ist schon klar, dass mein Programm nur eine Näherung liefert. "Mein" - stelle ich hier in Frage. Dein Eintrag war durchaus hilfreich, denn dadurch gewann ich ein Stichwort, denn vorher wußte ich nichts von einer Error-Function.
Es gibt eben in der Mathematik Integrale, die keine Stammfunktionen besitzen und daher unlösbar sind. Freunde der Normalverteilung rechnen schließlich, wenn sie sich der Tabellen bedienen, auch nur mit genäherten Werten. Ich wollte dies nur deshalb wissen, da es weitaus bequemer ist, im TR folgenden Ausdruck einzugeben: Phi(0) - Phi(1) als 0,5 - 0.84134. Außerdem die Wahrscheinlichkeit, dass man sich unter einer Streßsituation in den Wertetabellen verhaspelt, z.b. den -z anstatt des +z-Wertes nimmt, ist nicht mehr vorhanden.
Außerdem kann man auf so unsinnige Sachen wie eine lineare Interpolation, die eine einzige Fehlerquelle ist, wie sie teilweise auch verlangt wird, verzichten, da der TR diese Tätigkeit mitübernimmt. |
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