| Autor |
Beitrag |
    
Christian (Theone)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 21:51: | 
|
Hallo,
kann mir vielleicht irgendjemand bei einer Aufgabe helfen?
und zwar:
man zeige für n>=2:
Die Abbildung f:pi----->pi(1,2)
ist eine Bijektion von Sn auf sich.
Man schließe daraus, daß Sn genau so viele
gerade wie ungerade Permutationen enthält.
(Sn= Alle Permutationen pi der Länge n)
Danke schon mal im Vorraus |
holger
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 23:12: |
|
Hallo Chirstian,
Ich nehme an, (1, 2) ist eine Permutation in zyklischer Schreibweise, also die Vertauschung der ersten beiden Elemente.
Sn ist die symmetrische Guppe von n. (1, 2) ist ebenfalls ein Element dieser Gruppe. Wenn wir nun das Produkt: pi(1, 2) betrachten, gelten die Gruppengesetze.
pi(1, 2) liegt wieder in Sn.
f ist eindeutig umkehrbar: f^(-1) = pi(2, 1)
((2, 1) ist das Inverse zu (1,2))
Damit ist gezeigt, dass es sich um eine Bijektion von Sn auf sich selbst handelt.
Nun ist f eine Vertauschung. D.h. ist pi gerade, so ist f(pi) ungerade und umgekehrt.
Da es sich aber um eine Bijektion handelt, muss das Verhältnis von geraden und ungeraden Permutation nach der Abbildung unverändert sein. D.h. es muss genauso viele gerade wie ungerade Permutationen in Sn geben.
Alle anderen Möglichkeiten führen nämlich in einen Widerspruch.
Gäbe es mehr gerade Permutationen als ungerade, so gäbe es nach der Abbildung mehr ungerade als gerade. Dies ist aber ein Widerspruch gegen die Voraussetzung, dass f eine Bijektion von Sn auf sich selbst ist.
-holger |
Christian (Theone)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 00:17: |
|
Danke holger, du hast mir sehr geholfen
Christian |
|
