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MartinB
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 06:14: | 
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Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Sei r eine natürliche Zahl. Man zeige: Es gibt rationale Zahlen ar1, ..., arr, so daß für alle natürlichen Zahlen n gilt:
Sn k=1kr= 1/r+1nr+1+arrnr+...+ar1n.
Abschließend steht noch unter der Aufgabe: "Hinweis: Binomischer Lehrsatz."
Ich wäre sehr froh darüber, wenn mir jemand mit einem Beweis inklusive Einzelschritterklärung helfen könnte.
Vielen Dank.
Ciao, Martin |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 15:41: |
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Hallo :
Ich wŸrde das durch Induktion bzgl.r beweisen.
Zur AbkŸrzung bezeichne ich die j-te Potenzsumme
mit
S(j,n) := sum(k=1..n)k^j.
FŸr k=1,...,n und beliebiges r gilt nun nach dem
binom. Satz :
(k+1)^(r+1)-k^(r+1)=sum(j=0..r)binom(r+1,j)k^j.
Summiere beiderseits Ÿber k=1,...,n und vertausche
rechts die reihenfolge der Summationen, dann kommt
(n+1)^(r+1)-1 = (r+1)*S(r,n) + sum(j=0..r-1)S(j,n)
Loest man dies nach S(r,n) auf und benutzt die
Ind.-Ann. (GŸltigkeit der Formel fŸr S(j,n) fŸr
alle j < r), so ist man fertig.
Gruss
Hans |
Martin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 17:15: |
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Wie kommt man bitte auf die Idee, diese Gleichung zu benutzen:
(k+1)r+1-kr+1=Sr j=0binom(r+1,j)kj ?
Kannst Du mir das nochmal erklären?
Gruß
Martin |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Mai, 2001 - 07:20: |
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FŸr einen Induktionsbeweis (d.h. fŸr den eigentlichen "Schluss von r auf r+1") braucht man doch eine Rekursionsformel, d.h. man muss S(r+1,n)
irgendwie durch S(0,n),...,S(r,n) ausdrŸcken. Mit
diesem Teilziel vor Augen muss man nun ein wenig
herumprobieren und die Phantasie walten lassen,
ausserdem war ja das Stichwort "Binomischer Satz" schon gegeben.
Wie kommt man Ÿberhaupt auf eine Idee ? Von G.Polya stammt der Ausspruch : Ein Gedanke, den man einmal anwendet, ist ein Kunstgriff.Wendet man
ihn zweimal an, so wird er zur Methode. Ich
empfehle die LektŸre seines Buches "How to solve
it" : ein Klassiker !
Gruss
Hans |
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