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Epsilon-Delta Charakterisierung

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Markus
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Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 19:36:   Beitrag drucken

Hallo

Ich kenne mich bei folgender Aufgabe nicht so recht aus und erhoffe hier Hilfe zu finden!

Die Funktion f: D-->R sei für D=R{-2,2} durch f(x)=(x-2)/(x^2 - 4) gegeben.

a.) Für x0 = 2 bestimme man einen geeigneten Funktionswert f(x0), so dass f in x0 stetig wird.

Das kann ich noch so einigermaßen verstehen:
1. Ich bilde den Grenzwert für x-->2
lim x-->2 (x-2)/(x^2 - 4) = lim x--> (x-2)/((x-2)*(x+2)) = lim x--> 1/(x+2) = 1/4

2. für Stetigkeit in x0 muss gelten
lim x-->2+ f(x) = lim x-->2- f(x) = f(x) = 1/4


Daraus folgt, dass der Funktionswert f(x0) 1/4 sein muss.

So weit bin ich gekommen. Der zweite Teil der Frage ist nun die Stetigkeit in x0 mit epsilon-delta-Charakterisierung nachzuweisen. Und hier steige ich komplett aus.

Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen. Es ist wirklich dringend.

Vielen Dank
Markus
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Markus
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Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 19:38:   Beitrag drucken

Bei der Fragestellung hat sich ein Fehler eingeschlichen:

es muss lauten:

.... sei für D = R ohne {-2,2} durch f(x) = ....
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Fern
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Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 11:11:   Beitrag drucken

Hallo Markus,
Unsere Funktion ist also:
falls x=R\{-2,2} so ist f(x)=(x-2)/(x²-4)
falls x=2 so ist f(x) = 1/4
==========================
Es sei G ....... der Grenzwert
d und e positive Zahlen.

Um die Stetigkeit für x0 zu zeigen, müssen wir nachweisen,
dass für jedes (frei wählbare) e, ein d existiert, so dass
|G - f(x)| < e für alle x aus der Umgebung x0±d.

In anderen Worten: Die Abweichung der Funktion vom Grenzwert G kann beliebig klein gemacht werden, sofern man sie nur nahe genug zur Stelle x0 betrachtet.
===================
Unser Beispiel:
G = 1/4 =0,25
Wir berechnen die Funktion an der Stelle x0+d
(gleiche Rechnung auch für x0-d machen)

f(x) = (2+d - 2)/((2+d)² - 4)
Abweichung von G:
1/4 - (2+d-2)/((2+d)²-4) soll < e sein
dies ergibt:
d < -4+4/(1-4e)
==================
Dies ist der Zusammenhang zwischen d und e.
Wir sehen: wenn wir e kleiner und kleiner fordern, so erhalten wir auch d klein.
z.B.:
e = 0,01 ergibt d = 0,1666.. und f(x0+d)=0,2400..
e = 0,001 ergibt d=0,016064.. und f(x0+d)= 0,2490..
Die Differenz der Funktion zum Grenzwert G ist also immer kleiner als e.
(Wenn wir nur d nach der blauen Beziehung wählen)
==========================================================
Daher ist die Funktion an der Stelle x0 stetig!

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