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Beitrag |
    
Julia
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 19:15: | 
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Die Aufgabe ist z=x^4-4xy+2y^2
Ich soll die relativen extrema der Funktion bestimmen.
Bisher habe ich:
f'x(x,y,z) = 4x^3-4y
f'y(x,y,z) = -4x+4y
f'z(x,y,z) = -1
Null setzen ergibt: P1=(x=1,y=1,z=-1) und
P2=(x=-1,-1,-1)
Meine Frage ist wie weiss ich ob die Punkte Minimum oder Maximum Punkte sind. |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 20:50: |
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Hallo Julia,
z ist eine Funktion von x und y.
z(x,y)
Man schreibt auch: f(x,y)
Um "kritische Punkte" zu ermitteln, setzt man die partiellen Ableitungen nach x und nach y gleich null, also:
fx(x,y) = 0
und fy(x,y) = 0
Die Lösung dieses Gleichungssystems sind"kritische Punkte" (x,y), für die wir die dazugehörigen z-Werte ausrechnen können.
Um zu entscheiden ob in einem kritischen Punkt ein Maximum, Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt, bildet man die zweiten Ableitungen (in diesem Punkt).
Sei der Punkt (a, b)
dann: fxx(a,b); fxy(a,b) und fyy(a,b)
Man bezeichnet: d = fxx(a,b) - [fxy(a,b)]² als Diskriminante.
Dann gilt:
1) Falls d>0 und fxx(a,b)>0, so hat f für (a,b) ein relatives Minimum
2) Falls d>0 und fxx(a,b)<0, so hat f für (a,b) ein relatives Maximum
3) Falls d<0, dann ist (a,b, f(a,b) ein Sattelpunkt
4) Falls d=0, so kann man mit diesem Test keine Aussage machen.
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Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 20:58: |
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Hallo Julia nochmal,
Tippfehler:
richtig ist d = fxx(a,b)*fyy(a,b)-[fxy(a,b)]²
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Es gibt auch noch einen 3. kritischen Punkt P3: (0,0)
für den z(0,0)= 0 ist |
Julia
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 19:49: |
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Hallo Fern,
Danke für die Hilfe. Ich habe die Aufgabe nochmal gerechnet. Ich bin mir aber nicht sicher ob die Ergebnisse stimmen.
Also:
1.) f'x(x,y)=4x^3-4y
f'y(x,y)=-4x+4y
2.) Die kritischen Punkte sind bei
P1=(0,0) P2=(1,1) P3=(-1,-1)
3.) fxx(a,b)=12x^2
fyy(a,b)=4
fxy(a,b)=0
4.) d=12x^2*4-0=48x^2
P2(1,1) ist ein relatives Minimum
P3(-1,-1) ist ein relatives Minimum
Für P1(0,0) kann man keine Aussagen machen
Ist es richtig so? |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 08:02: |
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Hallo Julia,
Deine Rechnung stimmt nur teilweise:
1) und 2) sind richtig.
3) Ein Schönheitsfehler:
fxx(x,y) = 12x² NICHT fxx(a,b) = 12x²
Der wesentliche Fehler liegt aber bei fxy=0
Richtig ist fxx(x,y) = -4
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Es ergibt sich für die 3 Punkte:
P2=(1,1).........fxx(1,1)=12.......fyy(1,1)=4.....fxy(1,1)= -4
d(1,1)=32......Minimum
P3=(-1,-1)......fxx(-1,-1)=12.....fyy(-1,-1)=4......fxy(-1,-1)= -4
d(-1,-1) = 32......Minimum
P1=(0,0).........fxx(0,0)=0........fyy(0,0)=4......fxy(0,0)= -4
d(0,0) = -16.........Sattelpunkt
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Es ist:
f(1,1)= -1
f(-1,-1)= -1
f(0,0) = 0
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Um Missverständnisse auszuräumen:
P2 =(1,1) ist ein kritischer Punkt, er liegt in der x-y-Ebene
der Minimumpunkt ist aber: (1,1,-1), er liegt auf der Fläche
Nur beim P1=(0,0) fällt der kritische Punkt (zufällig) mit dem Sattelpunkt der Fläche (0,0,0) zusammen.
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