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philipp
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 12:43: | 
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Ich soll den mit der x- und der y-Achse eingeschlossenen Flächeninhalt der Astroide c:[0,pi/2] t->(cos(t) hoch 3,sin(t) hoch 3) in R2 berechnen... Dazu soll ich das Kurvenstück als Graph einer Funktion betrachten, deren Integral ich mit Hilfe der Substitution x = u(t) = cos(t) hoch 3 ausrechne?????
Wie soll das gehen? Irgendwelche Ideen?
Danke im voraus... philipp
P.S.: Ähhh, ich würde das bis heute (montag) abend brauchen.... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 13:56: |
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Hi philipp
Die Rechnung geht so:
Jede der beiden Gleichungen x = (cos t) ^ 3 und y = (sin t) ^ 3
wird mit 2/3 potenziert, und die Resultate werden addiert
Wir erhalten damit die Koordinatengleichung der Astroide,
nämlich :
x^(2/3) + y ^(2/3) = 1,
dabei haben wir von der Relation (cos t) ^2 + ( sin t)^2 = 1
Gebrauch gemacht.
Wir lösen die Gleichung nach y auf :
y = [1-x^(2/3)] ^ (3/2)
Die Fläche J der Astroide im ersten Quadrant erhalten wir als Integral
J = int [y * dx ], untere Grenze 0 , obere Grenze 1
Wir substituieren neckischerweise so:
x = (cos t ) ^ 3 , mithin dx = - 3* (cos t)^2 * sin t
In der neuen Integrationsvariablen lautet das Integral :
J = - 3 * int [{1-(cos t)^2) }^(3/2 ) * (cos t)^2 * sin t * dt ]
= - 3 * int [(sin t ) ^ 4 * (cos t) ^ 2 * dt ]
die transformierten Grenzen in t sind:
unten t = pi/2 , oben: t = 0
Vertausche wir diese Grenzen in t , so können wir das Minuszeichen
vor dem Integral weglassen.
Werten wir das Integral aus !
Das unbestimmte Integral ist (separate Rechnung) :
-1/6*(sin t)^3 (cos t)^3 - 1/8 *sin(t) * (cos t)^3 +1/16*cost *sint +1/16 *t
Der Wert des bestimmten Integrals ist somit 1/32* Pi.
Die gesuchte Fläche der Astroide ist somit
J = 3 / 32 * Pi (für alle vier Quadranten gilt dann A = 3/8 * Pi)
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 14:17: |
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Hi philipp,
Vor kurzem habe ich die Fläche der Astroide mit einer
etwas anderen Methode, mit der sogenannten Sektorformel
von Leibniz, hergeleitet.
Siehe im Archiv nach unter dem Stichwort "Femininum".
Dort steht auch jedesmal der Faktor a in den Parametergleichungen
Bei Bedarf kannst Du diesen Faktor auch in meiner letzten Arbeit
überall, wo es angebracht ist, beifügen
Die Gesamtfläche der Astroide ist dann A = 3/8 Pi * a^2.
Wenn Du Schwierigkeiten beim Integrieren haben solltest,
melde dich nochmals !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
philipp
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 23:17: |
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Super! Auch hier nochmal ein großes Dankeschön |
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