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Projektion von Vektor au fVektor

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schmitti
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Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 12:35:   Beitrag drucken

Hallo
Gegeben sind die Punkte A(2;-1),B(-1;3),C(4;7),
D(-1;5). Man bestimme die Projektion des Vektors
AB auf die Richtung des Vektors CD. Bitte Erläuterungen zum Lösungsweg. Was ist mit dem Begriff der Richtung gemeint.
Danke!
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Heiko (Kebmo)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 09:41:   Beitrag drucken

Ok, geht los:
Zunächst die beiden Vektoren AB und CD ermitteln:

AB = B-A = (-3;4)
CD = D-C = (-5;-2)

Über das Skalarprodukt der beiden eben ermittelten Vektoren erhält man den Winkel zwischen den beiden:

alpha = arccos( AB*CD / |AB|*|CD| ) = 74,93°

Die Projektion erhält man nun, indem man ein Lot von AB auf CD fällt. Der rechte Winkel liegt also auf CD. Mit der Richtung ist gemeint, daß die Projektion in Richtung von CD verläuft und nicht entgegengesetzt. Die Projektion ist ja sozusagen ein Vektor, der Parallel zu CD liegt mit einer bestimmten Länge und eben der vorgegebenen Richtung. Die Richtung erhält man aus dem Einheitsvektor von CD:

E = CD/|CD|
CD

Die Projektion ist nun der Einheitsvektor multipliziert mit der Länge von AB und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels (einfach mal ein Dreieck aufzeichnen, das die beiden Schenkel AB und CD hat, die vom gleichen Punkt ausgehen):

Projektion = E * |AB| * sin(alpha)
CD

= 1/sqrt(29)*(-5;-2) * 5 * sin(74,93) =

(-1,207; -0.48)

fertig!

CU

Heiko
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Heiko
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Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 09:44:   Beitrag drucken

Hinweis:

Das "CD" unter Projektion gehört als Index zu dem darüberstehendem E. Einheitsvektor CD sollte das sein.

Gruß

Heiko

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