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Beitrag |
    
Peter
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Mai, 2001 - 17:21: | 
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Ich muss folgende Aufgabe loesen!
Man berechne das Kurvenintegral
Integral[c]((x+y)dx+2xdy)
Dabei ist C folgender Weg:
Strecke vonP(-2|2) nach Q(-2|0), weiter auf dem Halbkreis mit Mittelpunkt M(0|0) ueber R(0|2)
nach S(2|0) und schließlich geradlinig weiter
nach T(3|2).
Im vorraus schon mal DANKE! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 07:58: |
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Hallo :
Du benoetigst fŸr jedes TeilstŸck eine passende
Parameterdarstellung
x = u(t) , y = v(t) ==> dx = u'(t)dt,dy = v'(t)dt
Diese lauten offenbar
FŸr PQ : x = -2, y = -t ; 0 =< t =< 2 ;
FŸr den Bogen QRS :
x = 2 cos(t) , y = - 2 sin (t) ; 0 =< t =< Pi ;
FŸr die Strecke ST :
x = 2 + t , y = 2 t ; 0 =< t =< 1.
Man integriert nun
(u(t)+v(t))u'(t) + 2 u(t)v'(t)
jeweils Ÿber die angegebenen Intervalle und
addiert alles auf.
Good luck
Hans |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 12:53: |
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Hi Peter,
Die von Hans vorgeschlagene Methode der Parametrisierung
der einzelne Kurventeile ist die Standardmethode zur
Berechnung von Kurvenintegralen und führt in der Regel
schnell und elegant zum Ziel.
Beim Ansatz haben sich bei den Koordinaten der gegebenen Punkte
Fehler eingeschlichen :
P hat die Koordinaten (-2 / 2) , nicht (-2 /-2).
Der Kreis geht durch den Punkt R( 0/2 ) auf der positiven y-Achse
und wird im Uhrzeigersinn durchlaufen, daher läuft in der
Kreisgleichung x = 2* cos t , y = 2 * sin t der Parameter t von
Pi bis 0.
Im folgenden zeige ich eine etwas andere Lösungsart,
die nicht notwendig besser ist.
Wir haben drei Wege a,b,c zurückzulegen, um von
P nach T zu gelangen.
Dieser Umweg kann nicht durch den direkten Weg
auf der Strecke PT ersetzt werden, da (x+y)*dx + 2x dy
kein vollständiges Differential darstellt.
Der Wert des Kurvenintegrals hängt im vorliegenden Fall
wesentlich vom Integrationsweg ab.
Näheres dazu in der Anmerkung am Schluss.
1.
Erstes Wegstück a : Strecke von P(-2/2) nach Q(-2/0).
Gleichung des Weges: x = -2, Differential dx = 0
Integrand: 0+2*(-2)*y , Integrationsvariable y
Teilintegral J1 = int [- 4 y *dy],
untere Grenze 2 , obere Grenze 0.
Daraus J1 = 8.
2.
Zweites Wegstück b : Halbkreis x^2 + y^2 = 4 mit
y = W = wurzel(4 -x^2) > = 0 , y' = dy / dx = - x / y,
mithin dy = - x / y * dx.
Integrand: mit der Integrationsvariablen x:
x + W + 2 * x * ( - x / y ) =
x + wurzel(4-x^2) - 2 * x ^ 2 / wurzel (4 - x ^ 2 )
untere Grenze - 2 , obere Grenze 2
Resultat der Integration (bestimmtes Integral) aus separater
Berechnung:
J2 = 0 + 2*Pi - 2*2Pi = - 2*Pi
Anmerkung
Der mittlere Wert 2*Pi stellt gerade die halbe Kreisfläche dar ,
der Wert des letzten Integral wurde durch partielle Integration
gewonnen
3.
Drittes Wegstück: Strecke von S(2/0)) nach T(3/2)
Gleichung der Geraden :y = 2 x - 4 mit dy = 2 * dx
Integrand x + 2x - 4 + 4x = 7 x - 4, Integrationsvariable x
untere Grenze x = 2 , obere Grenze x = 3, somit
J3 = ½ * 27.
Gesamtert Wert des gesuchtes Kurvenintegrals K :
K = J1 + J2 + J3 = 8 - 2*Pi + 27/2 = 43/2 - 2*Pi
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Anmerkung
Löse die folgende Variante der Aufgabe
Der Integrand des Kurvenintegrals laute neu:
(x + y) * dx + x * dy....................................................................(D)
Nun liegt ein totales Differential vor, weil die partielle Ableitung
von M(x,y) = x + y nach y mit der partiellen Ableitung von
N(x,y) = x nach x übereinstimmt; beide partiellen Ableitungen
sind eins.
Es gibt somit eine Funktion F(x,y) = ½ x^2 + x*y
deren Differential mit D übereinstimmt.
Der Wert eines Kurvenintegrals ist in einem solchen Fall vom
Integrationsweg unabhängig !
Statt wie bei Deinem Beispiel mühsam die drei einzelnen Integrale
für die Wege a, b, c berechnen zu müssen,, erhalten wir das Ergebnis
K durch eine einzige einfache Integration längs der Strecke PT .
Das Ergebnis lautet:
K = 25/2
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K stimmt übrigens mit der Differenz der Funktionswerte
F(3,2) - F(-2,2) überein
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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