| Autor |
Beitrag |
    
Katja (Krümel)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 17:23: | 
|
Hallo ihr da draußen! Ihr seid meine letzte Rettung!!
Bisher konnte mir noch niemand sagen, wie ich aus einer gegebenen Funktion explizit eine Fourierreihe entwickle... - wahrscheinlich bin ich zu blöd, aber ich wäre euch echt dankbar, wenn ihr es mir (ansatzweise?) erklären könntet!
Z.B. soll ich folgende Funktion entwickeln:
f(x)= 1 ( -p < x < 0)
f(x)= 0 ( 0 < x £p)
Danke im voraus!
Krümel_ |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Mai, 2001 - 16:53: |
|
Hi Katja,
Bei der nachfolgenden Herleitung gehe ich rein formal
vor und lasse zunächst alles Drum und Dran
(Konvergenznachweis etc ) weg.
Die von Dir vorgelegte Funktion f(x) , welche in eine
Fourier-Reihe entwickelt werden soll, ist periodisch mit
der Periode 2 * Pi ; [-Pi,Pi] ist das Hauptintervall von x.
Die Entwicklung lautet:
f(x) = ao + sum [an * cos (n* x) + bn * sin (n* x)]
Der Summationsindex n in der unendlichen Reihe läuft
von n = 1 bis unendlich
Die Fourierkoeffizienten ao, an , bn werden
als Integrale folgendermassen berechnet:
ao = 1 / (2 * Pi) * int [ f(t) * dt ]
an = 1/ Pi * int [f (t) * cos (n * t) * dt ] ,n = 1 , 2 , 3 ,....
bn = 1/ Pi* int [f (t) * sin (n * t) * dt ] . n = 1 . 2 . 3 . ......
Grenzen der Integrale : untere Grenze - Pi, obere Grenze Pi
Durchführung:
ao = 1 / (2*Pi) * { int [1* dt ] + int [0 * dt] }
untere Grenze des ersten Integrals t = - Pi , obere t= 0 ,
untere Grenze des zweiten Integralas t = 0 , obere t = Pi ,
somit kommt
ao = ½
an = 1 / Pi* { int [1* cos( n * t ) * dt ] + int [0* sin(n* t) * dt ] }
Grenzen wie oben.
Das zum ersten Integral in der geschweiften Klammer gehörige
unbestimmte Integral ergibt 1 / n * sin ( n * t )
Setzt man die Grenzen ein, so erhält man den Wert
0 - 1/n * sin (n * Pi) = 0 für alle Werte n = 1 , 2 . 3 . ...
Das zweite Integral ist ohnehin null, sodass
an = 0 für alle n gilt
Dieses Resultat war für den Kenner der Materie zu erwarten
bn = 1 / Pi* { int [1 * cos(n * t ) * dt ] + int [ 0* cos(n*t) * dt ] }
Dieselben Grenzen wie oben,
Das zum ersten Integral in der geschweiften Klammer gehörende
Unbestimmte Integral ist - 1 / n * cos ( n* t) ,setzt man die Grenzen
ein (achte auf die Vorzeichen),so erhält man zusammen mit dem Faktor
1 / Pi
bn = 1 /(n* Pi) * [ cos (n*Pi) - 1 ]
Die eckige Klammer nimmt für gerade n den Wert null, für
Ungerade n den Wert - 2 an.
Somit ist bn nur für die ungeraden n von null verschieden
und nimmt dann den Wert - 2 / (n*Pi) an.
Ungerade n charakterisieren wir mit der Beziehung:
n = 2* k - 1 , k = 1,2,3,....
Die gesuchte Reihe für f(x) lautet somit:
f(x) = ½ - 2 / Pi * sum [ uk ] , k = 1,2,3...... ad infinitum, mit
uk = 1 / (2*k-1) * sin [ ( 2* k - 1 ) * x ]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Katja (Krümel)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Mai, 2001 - 18:28: |
|
Hi!
Ich kann nur sagen: DANKE!!
Jetzt dürfte es mir etwas leichter fallen, meine Aufgaben auf die Reihe (sprichwörtlich *gg*) zu bringen!
Danke,
Katja |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 21:00: |
|
Hi Katja,
Noch eine Zugabe für Dich in Form zweier Fourier-Reihe.
1.Beispiel.
Im x-Intervall [- Pi , Pi] ist die Funktion f(x) = x gegeben ,
die mit der Periode 2 * Pi nach links und rechts fortgesetzt wird.
In der grafischen Darstellung erhält man lauter unter 45° gegen
die x-Achse geneigte Strecken, die die Periodizität ausdrücken.
Nur im Bereich [-Pi,Pi] gilt y = x und damit werden wir uns im
folgenden beschäftigen.
Im Bereich [Pi, 3*Pi] gilt y = x - 2 * Pi u.s.w.
Stelle eine Skizze der Strecken dar, die wir nun durch eine
Fourier -Reihe approximieren wollen..
Da wir es mit einer ungeraden Funktion zu tun haben, für
welche f (-x) = - f (x) gilt, sind alle Fourierkoeffizienten an = 0,
für die Koeffizienten bn setzen wir
bn = 1 / Pi * int [ x * sin ( n* x ) * dx ] ,
untere Grenze -Pi, obere Grenze Pi.
Aus Symmetriegründen können wir schreiben:
bn = 2 / Pi * int [ x * sin ( n * x ) * dx ] , mit der neuen und
bequemeren unteren Grenze null, obere Grenze ist nach wie vor Pi.
Durch partielle Integration erhalten wir schliesslich nach
Vereinfachungen für das bestimmte Integral den Wert
(-1) ^ (n+1) * Pi / n , mithin für bn das Ergebnis:
bn = (-1)^(n+1) * 2 / n .
Die Fourier-Reihe lautet demnach:
f(x) = x = 2 * [ sin x / 1 - sin ( 2 x ) / 2 + sin ( 3 x ) / 3 - +.......]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Setzt man hier x = Pi/2 ein, so erhält man die bekannte Leibnizsche Reihe
Pi/ 4 = 1 - 1 / 3 + 1/5 - +..........
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
2.Beispiel
Für das Intervall [-Pi,0] gilt f(x) = - x , für das Intervall [0,Pi]
gilt f(x) = x.
Damit erhält man bei periodischer Fortsetzung mit der Periode
2 * Pi einen Linienzug mit Knickstellen bei den x.-Werten
xk = k * Pi.
Für ao erhalten wir den Wert ao = Pi, für ungerade Werte von
n kommt an = - 4 / (Pi * n^2 ), für alle geraden n wird an null;
sämtliche Koeffizienten bn sind a priori null.
Daher lautet die Fourier- Reihe:
f(x) = Pi / 2 - 4 / Pi * [ cos x /1^2 + cos(3 x)/3^2 + cos(5 x)/5^2 +.....]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Für x = 0 erhalten wir die hübsche Formel:
[(Pi) ^ 2] / 8 = 1 / 1 ^ 2 + 1 / 3 ^ 2 + 1 / 5 ^ 2 +..........
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
