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Beitrag |
    
acamar
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 10:11: | 
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Hi.
Ich benötige eine Lösung für diese Aufgabe.
Zeige, dass die Funktion fn:R-->R,
fn(x)=sin(nx) für n=1,2,3 linear unabhängig sind.
Vielen Dank. |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 22:24: |
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Es gibt mehrere Möglichkeiten das Nachzuweisen. Ich wähle mal den Weg über die Ableitungen der rechten und linken Seite der Gleichung.
I a sin(x) + b sin(2x) + c sin(3x)=0 für alle x
2.Ableitung auf beiden Seiten :
II -a sin(x) - 4b sin(2x) - 9c sin(3x)=0
Da diese Gleichungen für alle x gelten sollen,nehmen wir erstmal an,daß sie für x=p/2 gilt.
Dann ist
I a-c=0 => a=c
II -a+9c=0 => a=9c
Insgesamt folgt c=9c,also c=0 und somit auch a=0.
Die Gleichung I reduziert sich also auf
b sin(2x)=0
und mit x=p/4 (sie soll ja für alle x gelten !) folgt daraus sofort auch b=0. Also sind die drei Terme linear unabhängig. |
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