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Beitrag |
    
Robert (Treborius)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 00:38: | 
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Bestimmen Sie die Fourierreihe zu
f(x) = 3/2a³*cos³x+a²*cos²x+(a-9/8a³)*cosx-a²/2
Wer kann mir mit diesem "Monstrum helfen?
Dank und Gruß, Treborius. |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Mai, 2001 - 14:05: |
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Hallo Treborius,
ich kann nur vermuten, dass das a³ nicht mit im Nenner stehen soll, weil sich dann das 9/8 "so glatt gegeneinander aufhebt", ändert am Grundlösungsweg aber nichts.
Ersetze cos³(x) durch (1/4)cos(3x) + (3/4)cos(x) (I)
und cos²(x) durch (1/2)*(1+cos(2x)) (II);
Beweis zu (II):
cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)=cos²(x)-(1-cos²(x))=2cos²(x)-1 |+1
cos(2x)+1 = 2cos²(x) |:2
(1/2)*(1+cos(2x)) = cos²(x)
Beweis zu (I):
cos(3x)
= cos(2x+x)
= cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)
mit cos(2x)=2cos²x-1 und dem Additionstheorem für Sinus: sin(2x)=2sin(x)cos(x)wird daraus
cos(3x)=2cos²(x) * cos(x) - 1*cos(x) - 2*sin(x)*cos(x)*sin(x)
cos(3x)=2cos³(x)-cos(x)-2sin²(x)cos(x), ersetze sin²(x)=1-cos²(x) =>
cos(3x)=2cos³(x)-cos(x)-2(1-cos²(x))cos(x)
cos(3x)=2cos³(x)-cos(x)-2cos(x)+2cos³(x)
cos(3x)=4cos³(x)-3cos(x) |+3cos(x)
cos(3x)+3cos(x)=4cos³(x) |:4
(1/4)cos(3x)+(3/4)cos(x) = cos³(x)
Also wird
f(x)=(3/2)a³cos³(x)+a²cos²(x)+(a-(9/8)a³)cos(x)-a²/2
zu
f(x)=(3/2)a³[(1/4)cos(3x)+(3/4)cos(x)] + a²[(1/2)*(1+cos(2x))] + (a -9a³/8) cos(x) - a²/2
f(x)=3a³/8cos(3x) + 9a³/8cos(x) + a²/2 + a²/2 cos(2x) + a cos(x) - 9a³/8cos(x) - a²/2
f(x)=3a³/8cos(3x) + a²/2 cos(2x) + a cos(x)
Dies ist die Fourierreihendarstellung von f(x), die Fourierkoeffizienten sind:
a0=0, a1=a, a2=a²/2, a3=3a³/8, ak=0 für alle k>3 und bk=0 für alle k (da keine Sinusanteile vorhanden)
Gruß Lemma |
Robert (Treborius)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 12:36: |
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Hallo Lemma,
ich dank´dir für die schnelle und ausführliche Hilfe.
Ich war total darauf fixiert die ak durch Integration zu erhalten (aussichtslos).
Gruß, Treborius. |
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