| Autor |
Beitrag |
    
Chris (Rothaut)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Mai, 2001 - 15:26: | 
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Hoi !
Nun sitz ich hier, und weiss nich weiter...
Ich soll die Fläche angeben, die der Astroid mit
t element [0,pi/2] mit t-->(cos^3(t),sin^3(t)) einschliesst. Es ist lächerlich, aber ich weiss nicht, wie ich von der Polardarstellung auf eine Funktion f(x)=irgendwas komme, um sie dann integrieren zu können. Für eine Antwort bin ich dankbar.
Christian |
Prof.Dr.XY
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Mai, 2001 - 18:22: |
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Hyperbolische Funktionen?
Universitätsniveau: was ist eine Polardarstellung? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Mai, 2001 - 20:19: |
|
Hi
Um diese Aufgabe erfolgreich lösen zu können,
sind gewisse Vorbereitungen notwendig
1.
Kenntnis des Begriffs "Parameterdarstellung einer Kurve".
und Umgang damit.
Verständnis für das vorgelegte Beispiel der
Astroide, welche ein Femininum darstellt, alles andere wäre eine Verballhornung dieser schönen Kurve.
Eine Parametergleichung lautet :
x = a * (cos t ) ^ 3 , y = a* (sin t ) ^ 3
Erste Ableitungen der Funktionen x(t) , y(t) nach t :
x ' (t) = - 3 a* ( cos t ) ^2 * sin t
y ' (t) = 3 a * ( sin t ) ^ 2 * cos t
2.
Profunde Kenntnis der Sektorenformel von Leibniz.
Diese kannst Du Dir aneignen , wenn Du die
entsprechendem Artikel im Archiv
( Stichwort "Sektorformel" oder "Jesse") studierst
3:
Berechnung des Integrals
int [{sin ( 2x ) ^ 2 }* dx ] = ¼ * [2x - sin (2x) cos(2x) ]
K sei das zugehörige bestimmte Integral mit unterer
Grenze null und oberer Grenze 2*PI :
K = Pi
Herleitung der Fläche der Astroide
Das Flächenelement dA in der Sektorformel ist:
dA = ½ * ( x * y ' - y * x' ) =
=3/2 * a^2 * [(cos t )^4 * (sin t ) ^ 2+ (cos t )^ 2 * (sin t) ^ 4 ] =
3/2* a^2 *(cos t)^2 * (sin t) ^2 = 3/2 * a^2 * ¼ *(sin 2 t ) ^2
Wir erhalten die gesuchte Fläche als bestimmtes Integral
über dA in den Grenzen 0 bis 2*Pi.
Nach der Vorbereitung unter Punkt 3 gibt das:
A = 3/2 * a^2 .* ¼ Pi = 3/8 * Pi * a^2.
Kommentar
Die Fläche der Astroide ist 3/8 der Fläche des Kreises,
der durch die vier Spitzen der Astroide geht
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Mai, 2001 - 20:22: |
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Hi
Um diese Aufgabe erfolgreich lösen zu können,
sind gewisse Vorbereitungen notwendig
1.
Kenntnis des Begriffs "Parameterdarstellung einer Kurve".
und Umgang damit.
Verständnis für das vorgelegte Beispiel der
Astroide, welche ein Femininum darstellt, alles andere wäre eine Verballhornung dieser schönen Kurve.
Eine Parametergleichung lautet :
x = a * (cos t ) ^ 3 , y = a* (sin t ) ^ 3
Erste Ableitungen der Funktionen x(t) , y(t) nach t :
x ' (t) = - 3 a* ( cos t ) ^2 * sin t
y ' (t) = 3 a * ( sin t ) ^ 2 * cos t
2.
Profunde Kenntnis der Sektorenformel von Leibniz.
Diese kannst Du Dir aneignen , wenn Du die
entsprechendem Artikel im Archiv
( Stichwort "Sektorformel" oder "Jesse") studierst
3:
Berechnung des Integrals
int [{sin ( 2x ) ^ 2 }* dx ] = ¼ * [2x - sin (2x) cos(2x) ]
K sei das zugehörige bestimmte Integral mit unterer
Grenze null und oberer Grenze 2*PI :
K = Pi
Herleitung der Fläche der Astroide
Das Flächenelement dA in der Sektorformel ist:
dA = ½ * ( x * y ' - y * x' ) =
=3/2 * a^2 * [(cos t )^4 * (sin t ) ^ 2+ (cos t )^ 2 * (sin t) ^ 4 ] =
3/2* a^2 *(cos t)^2 * (sin t) ^2 = 3/2 * a^2 * ¼ *(sin 2 t ) ^2
Wir erhalten die gesuchte Fläche als bestimmtes Integral
über dA in den Grenzen 0 bis 2*Pi.
Nach der Vorbereitung unter Punkt 3 gibt das:
A = 3/2 * a^2 .* ¼ Pi = 3/8 * Pi * a^2.
Kommentar
Die Fläche der Astroide ist 3/8 der Fläche des Kreises,
der durch die vier Spitzen der Astroide geht
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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