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Beitrag |
    
Benjamin (Benni121)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 20:42: | 
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kann mit dem Anfangswertproblem wieder nix anfangen....wie soll ich das rechnen?? kann mir das einer vorrechnen und wie es funktioniert?...warum es so ist?...und was ist ein integrierender Faktor???
Löse das Anfangswertproblem:
2xy²-3x²y+(x³(y-2)+x²(3y-y²))y'=0 ; y(1)=1,
mit Hilfe eines integrierenden Faktors M=M(y)
DANKE |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 21:50: |
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Hallo Benjamin,
Dies ist eine Differenzialgleichung, die man durch Multiplizieren mit einem "integrierenden Faktor "exakt" machen kann.
Die Schwierigkeit liegt einzig darin, diesen integrierenden Faktor zu finden.
(2xy²-3x²y)*dx + [x³(y-2) + x²(3y-y²)]*dy = 0
Ich bezeichne: M*dx + N*dy = 0
also: M= 2xy²-3x²y
My = 4xy-3x²
N=x³(y-2)+x²(3y-y²)
Nx = 3x²y-6x²+6xy-2xy²
Die partiellen Ableitungen sind nicht gleich, also die DGL nicht exakt.
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Es gibt folgendes "Kochrezept", um den integrierenden Faktor zu finden:
Falls der Ausdruck:
(1/M)*(Nx-My) = k(y) also eine Funktion von y allein ist,
dann existiert ein integrierender Faktor. (Analoges gilt für die Variable x)
und der integrierende Faktor
u(y)=e^ò k(y)*dy
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[1/(2xy²-3x²y)]*(3x²y-6x²+6xy-2xy²-4xy+3x²) = (1/y) -1
Mit Hilfe meines Computers gerechnet.
ò (1/y-1)dy = ln(y)-y
und der integrierende Faktor u(y) = eln(y)-y = y*e-y
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Wir multiplizieren unsere Gleichung nun mit u(y):
[2xy²-3x²y]*ye-y*dx + [x³(y-2)+x²(3y-y²)]*ye-y*dy = 0
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Dies ist nun eine exakte Differenzialgleichung, die mit den üblichen Methoden gelöst werden kann.
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Benjamin (Benni121)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Mai, 2001 - 20:57: |
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danke das wird mir helfen...muß jetzt noch so eine aufgabe lösen...die ist etwas anders...mal sehen...danke |
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