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Quintus Thorn
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 05:41: | 
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Lest euch erst einmal die Aufgabe durch, dann hab ich dazu ne Frage:
Es sei T eine rationale Funktion in sin x und cos x, d.h.
T(x)=p(cosx,sinx)/q(cosx,sinx)
wobei p,q Polynome in zwei Variablen sind.
Zeigen Sie dann, daß durch die Substitution t:=tan a/2 das Integral Int T(x) dx in ein Integral Int f(t) dt übergeführt wird, wobei f eine rationale Funktion ist. (Die Formel tan a/2 = sin a/(1+cos a) ist hilfreich, jedoch zu beweisen, falls Sie sie verwenden wollen).
Berechnen Sie damit Int (0 bis Pi/2) 1/(1+sin a+cos a) da und Int 1/cos a da.
Mein Problem ist, daß ich mir unter dem T(x) nix vorstellen kann. Was heißt in diesem Fall "rationale Funktion" und wie sehen dabei die Polynome aus bzw. was kann ich mir darunter Vorstellen?
Natürlich wäre ich für eine Lösung der Aufgabe dankbar, aber die Erklärung ist erstmal wichtiger! |
Storch
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 21:31: |
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Also, ich versuch mal, Dir ne Kurzfassung von unserer Lösung zu schreiben, die Du dann aber selber weiter ausarbeiten musst (ich hoffe, die Zeit reicht Dir noch):
1. "rationale Funktion" heißt, die beiden Variablen in p und q dürfen nur WErte aus den rationalen Zahlen annehmen (hab ich zumindest so ausgefasst). Muss man aber auch nicht verstehen, um die Aufgabe zu lösen.
2. Beim Beweis von tan a/2 ist es hilfreich, sin a als sin(a/2+a/2) und cos a als cos(a/2+a/2) zu schreiben. Wie man das umschreiben kann, haben wir mal in AnaI bewiesen, damit ergibt sich die Formel praktisch von selbst.
3. Man löse die tan a/2-Formel jeweils nach sin und cos auf, bis die nur noch von tan abhängig sind. Dann substituierst Du wie angegeben und benennst die Funktion T(x) in f(t) um.
4. Wenn Du tan nach sin und cos aufgelöst hast, kannst Du das in die beiden gegebenen Integrale einsetzen. Ein Tipp noch dazu: Wenn Du die Integrale etwas umformst, stehen die Ableitungen von trigonometrischen oder hyperbolischen Funktionen darunter! Guck einfach mal in die Formelsammlung.
Ich hoffe, das hat die auf die eine oder andere Idee gebracht :-) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Mai, 2001 - 09:32: |
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Hi Quintus,
Als Ausgangspunkt zur Herleitung der sogenannten
Rationalisierungsformeln
verwendet man am besten die Doppelwinkelformel
der Tangensfunktion, welche ihrerseits sich aus dem
Additiontheorem dieser Funktion ergibt.
tan ( 2 * u ) = 2 * tan u / [ 1 - (tan u ) ^2 ]
Nun setzen wir 2 u = x , u = x / 2 und
tan (x /2 ) = t
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Wir erhalten:
tan x = 2 t / ( 1 - t ^ 2)
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Mit ( cos x ) ^ 2 = 1 / [1 + (tan x) ^2 ] kommt:
( cos x ) ^ 2 = 1 / [ 1 + (4 * t^2 ) / ( 1 - t ^ 2 ) ^ 2 ] =
= [1 - t ^ 2 ] ^ 2 / [ 1 + t ^ 2 ] ^ 2 , also
cos x = ( 1 - t ^2 ) / ( 1 + t ^2 )
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Mit der Formel sin x = tan x * cos x erhalten wir:
sin x = [2 t / (1 - t ^ 2 )] * [(1 - t ^ 2) / ( 1 + t ^ 2 )] ,also :
sin x = 2 t / ( 1 + t ^ 2 )
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Nun zu den Differentialen dx , dt
Aus t = tan (x/2) erhalten wir durch Differentiation nach x:
dt / dx = ½ * [1 + ( tan (x/2) ^2 ] = ½ * (1+t^2), somit:
2 / ( 1 + t ^2 ) * d t = dx
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Mai, 2001 - 15:51: |
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Hi Quintus,
Für die Hyperbelfunktionen sinh x , cosh x, tanh x
kann eine analoge Substitution eingesetzt werden,
um Integrale rationaler Funktionen dieser
hyperbolischen Funktionen auf Integrale rationaler
Funktionen in einer neuen Variablen t zurückzuführen.
Die Substitution lautet:
tanh x/2 = t , daraus folgt x = 2 * Artanh t
und weiter:
sinh x = 2 t / (1 - t ^ 2 )
cosh x = ( 1+t ^ 2 ) / ( 1 - t ^ 2 )
tanh x = 2 t / ( 1- t ^ 2 );
schliesslich gilt für die Differentiale dx , dt:
dx = 2 / ( 1 - t ^22 ) * dt .
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Zum Abschluss wähle ich ein paar einfache Beispiele ,
um die Wirksamkeit dieser Methode zu zeigen:
1.
Subst. tan (x/2) = t
int [dx / sin x ] = int [(1+t^2 ) /(2t) * 2 / (1+ t^2) * dt ] =
= int [dt / t] = ln t = ln [tan(x/2)]
2.
Subst. tan(x/2) = t
int [dx /(cos x) ^3 ] = 2* int [(1 + t^2) ^2 / (1 - t^2) ^3 * dt ]
Das Integral rechts kann durch Partialbruchzerlegung des
Integranden gelöst werden.
3.
Subst. tanh (x/2) = t
int [ dx / cosh x ] = int [(1-t^2)/(1+t^2) * 2 / ( 1 - t ^2 ) * dt]=
2 * int [ 1 / (1+t^2) * dt ] = 2* arc tan t = 2 * arc tan [tanh (x/2)]
u.s.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Quintus Thorn
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Mai, 2001 - 16:09: |
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Hab vergessen mich zu bedanken:
Moser, du hast mir echt weitergeholfen, bin dir echt dankbar. |
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