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katzekrebs
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 18:01: | 
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Ich würde relativ dringend eine rechnerische Lösung des folgenden Problems brauchen!
Gegeben sei das Quadrat ABCD.Auf den Seiten AB, CD liegen die Punkte E
und F. Auf der Strecke EF liege der Punkt X. Zz: Der zweite Schnittpunkt
der Umkreise der Dreiecke AEX und CFX liegt auf der Quadratdiagonale AC. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 14:15: |
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Hi katzekrebs,
Wir legen das Quadrat ABCD in ein rechtwinkliges
Koordinatensystem.
Wir wählen die Seitenlänge a = 10; die Koordinaten
der Ecken sind:
A(0/0),B(10/0),C(10/10),D(0/10)
Auf der Seite AB liegt der Punkt E (2e/ 0),
auf der Seite CD der Punkt F (10 - 2f /10)
Um den Rechengang etwas zu vereinfachen, wählen wir
e = 3 und f = 1 , sodass die Punkte E und F die Koordinaten
E( 6 / 0 ) und F( 8 / 10 ) erhalten.
Der allgemeinen Fall kann im Nachgang erledigt werden.
Weitere Bezeichnungen:
Der Mittelpunkt des Kreises k1,der durch die Punkte
A,E,X geht, sei M1 mit den Koordinaten xM1 = e = 3
und yM1 = h.
Achtung: h wird die Rolle eines Parameters übernehmen.
Der Mittelpunkt des zweiten Kreises k2 durch F,C,X sei M2;
über die Daten von k2 reden wir später.
Konzept einer rechnerischen Lösung
1.Ermittlung einer Gleichung von k1 in Abhängigkeit von h
2.Bestimmung des Schnittpunktes S mit der Diagonalen AC
xS und yS sind einfache Funktionen von h.
3.Ermittlung des von E verschiedenen Schnittpunktes T von k1
mit der Geraden g = EF
xT und yT sind Funktionen von h.
Rollenspiel:
T wird die Rolle des im Aufgabentext erwähnten Punktes X
übernehmen .
4: Ermittlung der Mittelsenkrechten n der Strecke CT
5 .Berechnung der Koordinaten des Mittelpunktes M2 von k2
6. Festlegung einer Gleichung von k2.
7. Nachweis ,dass k2 durch S geht und zwar für jede Wahl von h.
Beim Einsetzen der Koordinaten des Punktes S in die Gleichung
von k2 wird sich h wegheben , womit die Behauptung
nachgewiesen ist.
Ausführung (ohne détaillierte Zwischenresultate)
ad 1
k1: (x-3)^2+(y-h)^2 = 9 +h^2 oder
x^2 + y^2 - 6x - 2 h y = 0
ad 2.
Gleichung von AC: y = x
Schnitt mit k1: für x = 0 kommt:
xS = 3 + h , yS = 3 + h .
ad 3
Gleichung von g = EF:
y = 5x - 30,
nach x aufgelöst: x = 1/5 * y + 6 , dies in die Gleichung von k1
eingesetzt und vereinfacht führt auf die Gleichung in y:
y * [26 y + 30 - 50 h ] = 0
die von null verschiedene Lösung ist yT, nämlich
yT = ( 25 h - 15 ) / 13, daraus
xT = ( 5 h + 75 ) / 13
ad 4.
Diese Mittelsenkrechte n geht durch den Mittelpunkt
N mit xN = (5 h + 179 ) / 26 , y N = (25 h + 115 ) / 26
Die Steigung von n ist zur Steigung von EF
entgegengesetzt reziprok, somit hat sie den Wert - 1/5.
Gleichung von n:
2 x + 10 y = 10 h + 58
ad 5.
M2 liegt auch auf der Mittelsenkrechten x = ) der Strecke CF
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten n aus 4) mit x = 9 gibt Ms:
xM2 = 9 , yM2 = h+4
ad 6.
Für den Radius R des Kreises k2 gilt:
R^2 =1^2 + [10 - (h+4)]^2
Gleichung von k2, vereinfacht:
x ^ 2 + y ^ 2 - 18 x - 2 * ( h + 4 )* y + 60 + 20 h = 0
ad 7.
Ich überlasse es Dir, die Koordinaten des unter 2) ermittelten
Punktes S , also xS = yS = 3+h einzusetzen
und das Erlebnis der Erfüllung zu geniessen !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
katzekrebs
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 16:24: |
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Hallo megamath!
Danke für die schnelle prompte Hilfe.
Ich habe nur noch eine Frage, kann man das Beispiel nicht auch allgemein lösen ohne koordinatensystem?
Für meine baldige Prüfung fehlt mir aus dem fragenkatalog leider auch noch folgendes Beispiel:
Vier Geraden erzeugen durch ihre wechselweisen Schnittpunkte vier Dreiecke. Zz:Die 4 Umkreise gehen durch denselben Punkt (Punkt von Miquel)
Weiters brauche ich für den Ansatz dieses Beispiel eine Definition des Begriffes "isogonal" verwandte Punkte!
X1 und X2 seien isogonal verwandte Punkte auf der Dreiecksseite A1A3.
Zz: T(A1A2X1)*T(A1A2X2)=a2²/a1²
Wenn du also noch einmal zeit und lust hast, bitte hilf mir!!!
Danke katzekrebs |
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