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Jens
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 16:06: | 
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Hallo, ich häng mal wieder.
Wie beweist man die folgende Formel?
Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte...
a_{n} = (1/sqrt{5})*(((1+sqrt{5})/2)^n-((1-sqrt{5})/2)^n) ; (n aus N )
wobei a_{1} = a_{2} = 1
und a_{n+2} = a_{n} + a_{n+1}.
Grüße,
Jens |
Xell
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 16:50: |
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Hi Jens!
Gehe von einer geometrischen Form der expliziten Formel aus und setze die gegebenen Bedingungen ein (den Startwert und die rekursive Definition). So sollte es gehen.
mfG, Xell :-) |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 21:01: |
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Ein Beweis der Formel (englisch) http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibformproof.html
Gruß
Matroid |
Jens
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 15:39: |
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Hallo nochmal,
gibt es auch einen anderen/einfacheren Beweis hierzu.
Ich habe den Beweis, der hinter obigem Link steht, nicht verstanden.
Auch den Tip von Xell konnt ich leider nicht umsetzen, bzw. ich bleibe irgendwo stecken und komme nicht weiter.
Also, danke, wenn mir nochmal jemand weiterhelfen kann.
Grüße,
Jens |
Xell
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 16:06: |
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Hier ist das Ganze sehr gut erklärt, Jens. Da bedarf es keiner Erklärung mehr, nehm ich an...
Fibonacci-Folge explizit
mfG, Xell :-) |
J
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Mai, 2001 - 21:59: |
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Es gibt einen wunderschönen, trickreichen Beweis auf der Basis von Vektorräumen.
1) wir betrachten alle Folgen an mit an = an-1+an-2 für n>2, a1,a2 beliebig.
Diese Folgen bilden eine Vektorraum mit der üblichen Addition von Folgen und der üblichen Multiplikation mit einer reellen Zahl.
2) diese Vektorraum hat offensichtlich die Dimension 2, da jede Folge durch a1 und a2 eindeutig festgelegt ist.
3) Wir prüfen, ob es eine geometrische Folge <an> aus diesem Vektorraum gibt:
In diesm Fall muss gelten:
an+2 = q²*an
an+1 = q*an
und
an+2 = an+1+an
also
q²*an = q*an +an
division durch an führt zu
q²=q+1
Dies hat die Lösungen q1= (1+Ö5)/2 und q2=(1-Ö5)/2
es gibt also geometrische Folgen, die die Rekursionsgleichung erfüllen.
mit a1= 1 und q1 bzw. b1= 1 und q2 sind zwei linear unabhängige Folgen <an> und <bn> definiert.
Für die Fibonaccifolge <cn> muss also gelten:
es gibt reelle Zahlen , x und y mit x*<an>+y*<bn> = <cn>
aus den ersten beiden Folgengliedern entwickeln wir ein Gleichungssystem:
1=x+y
und 1= q1*x +q2*y
Wenn due diese Gleichungssystem löst kommst du auf die bekannte Form der Fibinaccifilge
Gruß J |
Jens
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Mai, 2001 - 16:42: |
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Hey, danke für die vielen Tips.
I did it!
Grüsse,
Jens |
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