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Michi
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 21:24: | 
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Hi!
Ich habe bis jetzt - glaube ich jedenfalls - noch nie etwas von Vektorräumen bzw. von linear (un-)abhängig gehört. Dennoch wurde mir folgende Aufgabe gestellt:
In einem reellen Vektorraum seien drei linear unabhängige Vektoren a1, a2 und a3 gegeben. Für welche "x Element aus R" sind folgende Vektoren b1, b2 und b3 linear abhängig.
b1 = a2 + a3 - 2*a1
b2 = a3 + a1 - 2*a2
b3 = a1 + a2 - x*a3
Leider haben mir die Erklärungen in meinen Büchern auch nicht weitergeholfen. Vielleicht kann mir ja jemand dieses Bsp. "sehr verständlich" erklären. Danke! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 08:27: |
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Hallo :
Rekapitulieren wir die Definition :
b_1,b_2,b_3 heissen linear unabhaengig (l.u.)
genau dann wenn (g.d.w.) aus dem Bestehen einer
linearen Relation
t_1*b_1 + t_2*b_2 + t_3*b_3 = 0 (Nullvektor)
folgt, dass alle 3 Koeffizienten t_1,t_2,t_3
gleich 0 sind.
Nehmen wir also an, es bestehe eine solche Relation. Ordnet man diese nach den a_i , so
lautet sie
(-2t_1 + t_2 + t_3)*a_1 + (t_1 - 2t_2 + t_3)*a_2
+ (t_1 + t_2 - x t_3)*a_3 = 0.
Da nun nach Vor. die a_i l.u. sind, so mŸssen alle 3
KlammerausdrŸcke Null sein. Das ergibt ein
homogenes lineares Gleichungssystem fŸr die
Koeffizienten t_1,t_2,t_3. Dieses hat sicher die
"triviale" Loesung t_1 = t_2 = t_3 = 0. Es fragt
sich, ob es ausserdem noch andere (sog. nichttriviale) Loesungen gibt. Du wirst leicht
selbst bestaetigen koennen, dass dies dann und nur dann der Fall ist, wenn x = 2 ist (Schulstoff).
Gruss
Hans |
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