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Beitrag |
    
MathehilfebedürftigerInformatiker
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 21:18: | 
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Aufruf an alle Mathematiker!
Helft einem armen Informatik Studenten weiter der hiervon keine Ahnung hat!
Wäre echt nett!!!
Sei M eine Meinge versehen mit der diskrten Metrik d.
(a) Bestimme die offenen, abgeschlossenen, beschränkten und kompakten Mengen in (M,d).
(b) Bestimme für X ` M den Abschluß "X-quer", das Innere X°, und den Rand ¹ X.
(c) Bestimme die konvergenten und die Cauchy-Folgen in (M,d). Ist (M,d) vollständig? |
Henrik (Yleph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 10:54: |
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dM(x,y)=0 falls x=y
1 sonst
a)
eine Menge X ist offen, wenn für jedes x aus X
ein eps>0 existiert, so daß für jedes y aus M mit dM(x,y) < eps y in X gilt.(*)
dh.:
eine Teilmenge X von M ist genau dann offen bzgl. der diskreten Metrik wenn X die leere Menge (eps beliebig), eine beliebige Teilmenge (eps < 1) oder die Menge M (eps beliebig) selbst ist.Dh: jede Teilmenge von M ist offen
abgeschlossen <=> Komplement offen
=> da jede Teilmenge offen und das Komlement jeder Menge auch Teilmenge ist, ist jede Menge abgeschl. bzgl. dM
eine Teilmenge X von M heißt beschränkt, wenn das Supremum der Abstände von zwei Punkten aus X endlich ist.
da für alle x,y aus M: dM(x,y)<=1 ist sogar M beschränkt und damit auch jede Teilmenge von M
eine Teilmenge X ist kompakt wenn jede Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung hat.
dh. jede endl. Teilmenge X von M ist kompakt. Ist X mindestens abzählbar unendlich so ist {{x}:x aus X} offene Überdeckung ohne endl. Teilüberdeckung.
b)
da jede Menge abgeschlossen ist ist der Abschluß die Menge selbst
da jede Menge offen ist, ist das Innere gleich der Menge selbst
der Rand ist die Differenzmenge des Abschlusses mit dem Inneren einer Teilmenge von M. Da diese übereinstimmen ist der Rand leer.
c)
da jede Cauchyfolge s in M fast überall konstant ist (falls d(n-m)<delta(1) muß dM(s(n)-s(m))=0<1), konvergiert jede Cauchyfolge in M bzgl dM.
umgekehrt ist jede konvergente Folge Cauchyfolge.
dh. alle Folgen a, der Form a(n+1)=a(n) für n>N ist Cauchyfolge und konvergiert.
da jede Cauchyfolge konvergiert ist M vollständig bzgl. der diskreten Metrik |
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