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Mareike
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 18:13: | 
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Hi Leute, ich brauche dringend Eure Hilfe. Ich soll beweisen, daß
Dritte Wurzel aus (Quadratwurzel(5) + 2) - Dritte Wurzel aus (Quadratwurzel(5) -2) = 1 ist. Das muß doch irgendwie beweisbar sein?! Ich rechne hier seit Stunden rum und komme nicht darauf! |
Henrik (Yleph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 10:07: |
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wegen (Sqrt(5)+2)*(Sqrt(5)-2)=5-2*Sqrt(5)+2*Sqrt(5)-4=1
folgt Sqrt(5)-2 = 1/(Sqrt(5)+2)
setze a:=Sqrt(5)+2
so heißt obige Gleichung
a^(1/3)-a^(-1/3)=1 (*)
multiplizieren mit a^(-1/3) und Umformung in Normalform ergibt
a^(2/3)-a^(1/3)-1=0
Substitution von b:=a^(1/3) gibt
b^2-b-1=0
dies hat die Lösungen
b1 = 1/2(1+Sqrt(5)),b2=1/2(1-Sqrt(5))
b1 = a1^(1/3) liefert durch kubieren
a1 = b1^3=1/8*(1+3*Sqrt(5)+3*5+5*Sqrt(5))
=> a1=Sqrt(5)+2 ist Lösung von (*) |
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