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Beweis-mit Induktion???

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Doris
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 13:55:   Beitrag drucken

Ich bins mal wieder!

Also, die Aufgabe ist ansich nicht allzu schwer, hat aber trotzdem so ihre Tücken!

Wenn n > 4 zusammengesetzt ist, dann gilt:
n ist Teiler von (n-1)!

Kann man das mit vollständiger Induktion lösen?
Wenn ja, ist mir nicht klar, was mit "zusammengesetzt" gemeint ist.

Mit der Bitte um baldige Hilfe-
Doris
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Xell
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 14:31:   Beitrag drucken

Hi Doris!

Eine natürliche Zahl c heißt zusammengesetzt, wenn zwei natürliche Zahlen a und b existieren, mit der Eigenschaft a*b=c, d.h. für dein Problem: n ist nicht prim.

Soviel als Starthilfe!

mfG, Xell :-)
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Martin
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 15:02:   Beitrag drucken

(n - 1)! = n! / n

Ist also die Frage, ob n! durch n2 teilbar ist.

Beispiele:

(8 - 1)! / 82 = 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 / 8*8
(15 - 1)! = 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 / 15*15

Wenn eine Zahl zusammengesetzt ist, dann bedeutet das (logischerweise), daß sie Teiler hat, die kleiner sind als sie selbst. In n! steckt logischerweise das n schon drinne. Die Teiler der Zahl müssen auch in der "Folge" stecken, also muß n! durch n2 teilbar sein.

Weiter helfen kann ich dir aber nicht, wir hatten bislang keine vollständige Induktion behandelt.
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Martin
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 15:07:   Beitrag drucken

Häch, hab mal wieder gut aufgepasst. Es muß bei den Beispielen heißen:

8! / 82
und
15! / 152

Sorry.
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Martin
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 15:29:   Beitrag drucken

Ähm, muß mir nochmal widersprechen:

Ist n das Quadrat einer Primzahl, so ist n! nicht durch n2 teilbar..

-> 9! / 92 = 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 / 9*9 -> nicht restlos teilbar
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Doris
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 15:32:   Beitrag drucken

Hey Martin, danke für deine Lösung, so ist das Ganze wirklich recht logisch!
Nur eine Kleine Frage hab ich noch:
Die Umformung von
(n-1)! auf n! / n ,
ist das einfach eine Formel? Die hat man uns an da Uni anscheinend unterschlagen.
Cu und nochmals danke!
Doris
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Doris
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 15:37:   Beitrag drucken

Ja, aber 9 ist keine Primzahl, da es Zahlen ausser 9 gibt, die 9 teilen; Wie 3 etwa.
n kann nach dem was xell geschrieben hat nie prim sein.
Lieg ich da falsch?
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Martin
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 16:04:   Beitrag drucken

Also: n! ist das Produkt aller Zahlen von 2 bis n

n * (n - 1) * (n - 2) * ...

* Teilt man n! durch n, kommt man auf (n - 1)!
* Teilt man (n - 1)! durch n - 1, kommt man auf (n - 2)! usw.

----

9 ist keine Primzahl, da hast du recht.

ABER: 9 ist das QUADRAT einer Primzahl und es gibt keine zwei Zahlen, die Teiler von 9 sind UND die verschieden sind (das ist ja bei der Aufgabe sozusagen Voraussetzung).

Wenn du dir 9! / 92 als Bruch aufschreibst, wird dir das deutlich. Nachdem du die 9 und die 3 weggekürzt hast, findest du keine Zahl mehr, die durch 3 teilbar ist (wie auch, die 3 ist ja schon weg).
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Martin
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 16:30:   Beitrag drucken

Ach Sch....e na klar gibt es die! Da kürzt man halt die 6 weg, ich Depp... *heul*
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Doris
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 17:07:   Beitrag drucken

Das Bsp. ist ja schwieriger als ich gedacht habe!
Hab aba grad nu a anderes Problem entdeckt:
n soll ja > 4 sein, laut Xell ist n= a*b , also nicht prim! Wenn ich nun n=5 setze, ist 5=a*b, also prim.
So eine blöde Aufgabe, hab null Ahnung was jetzt stimmt und was nicht...
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Martin
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 17:21:   Beitrag drucken

Nun guck: n > 4 -> ist bei 5 gegeben
Und: n ist zusammengesetzt -> 5 ist nicht zusammengesetzt, es ist prim

Wenn (n > 4) und (n ist zusammengesetzt) dann ist n auch ein Teiler von (n - 1)!

Das was ich mit der Quadratzahl geschrieben hab, war Quark, tut mir leid.

So, jetzt is erschtma Feiromd fir heide, ich geh heme
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 18:01:   Beitrag drucken

Hallo an alle

Nach den ganzen Verwirrungen möchte ich gerne für Klarheit sorgen. Der Beweis ist ohne Induktion machbar.

Zunächst mal eine kleine Korrektur:

eine Zahl heißt zusammengesetzt, wenn sie keine Primzahl ist, bzw wenn c=a*b; a,b natürliche Zahlen >1!!!
oder a,b<n, was äquivalent dazu ist.

Hat n=ab zwei verschiedene Faktoren, so kommen wg a,b<n in (n-1)!=(n-1)(n-2)...2*1 a und b vor, also gibt es eine natürliche Zahl k, sodass (n-1)!=k*a*b=k*n, also wird (n-1)! von n geteilt.

Hat n keine zwei verscheidenen Faktoren, so muss n=p² (p Primzahl) sein. Nun kommt die Voraussetzung n>4 ins Spiel, denn sonst wäre n=4 ein Gegenbeispiel, da (4-1)!=6 nicht durch 4 teilbar ist.

Wg n>4 ist p>=3. Somit kommen in (n-1)!=(n-1)(n-2)...2*1 (2p<n) p und 2p vor, somit exisitiert eine natürliche Zahl k, sodass (n-1)!=k*p*2p=2kp²=2kn, somit ist n ein Teiler von (n-1)!

viele Grüße
SpockGeiger
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Doris
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Mai, 2001 - 13:35:   Beitrag drucken

Vielen Dank für deine tolle Lösung
-du hast Licht ins Dunkle gebracht! Der Professor war begeistert!
Nochmals Danke!!!

Ciao - DORIS

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