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Beitrag |
    
marcel
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 16:34: | 
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ich brauche dringend die integration durch partialbruchzerlegung der funktion:
(2*x^2 +9*x +12)/(x^2+6*x+10)
danke schön im vorraus |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 20:29: |
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Hi marcel,
Statt Anleihen bei Formelsammlungen aufzunehmen,
versuchen wir, Dein Integral eher spielerisch zu lösen
Wir zerlegen den Integranden f(x), welcher eine
unecht gebrochene rationale Funktion darstellt,
in eine ganze Funktion und eine echt gebrochene
rationale Funktion.
Wir erhalten :
f(x) = 2 - g(x) ,wobei
g(x) = (3 x + 8) / (x^2 + 6x +10) gilt
g(x) formen wir so um:
g(x) = 3 / 2 * (2 x + 6 ) / (x^2 + 6x + 10) - 1 / (x^2+6x +10)
Den Nenner N im letzten Bruch schreiben wir
N = [ 1 + ( x +3 ) ^ 2 ]
Es ist ein leichtes Unterfangen, die beiden Brüche von g(x)
zu integrieren:
Der erste führt auf den Logarithmus des Nenners N ,
weil im Zähler de Ableitung des Nenners steht,
der zweite auf den arc tan von (x+3).
Das gesuchte unbestimmt Integral ist demnach:
J = int [ f(x)* dx ] =
2x - 3/2* ln ( x^2 + 6x + 10) + arc tan (x+3) + C
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 21:43: |
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Hi marcel ,
Als Nachtrag möchte ich Dir zeigen, wie man Funktionen
vom Typus der Funktion g(x) in Deinem Beispiel
integrieren kann.
Dabei soll ein etwas allgemeinerer Fall behandelt werden:
Der Integrand g(x) sei dabei wie folgt gegeben:
g (x) = (m x + n ) / (x ^ 2 + 2 a x + b)
Vorausgesetzt wird: die quadratische Form m Nenner
ist positiv definit.
Dies ist genau dann der Fall, wenn die Diskriminante
D = 4a^2 - 4b negativ ist , wenn also a ^ 2 < b gilt.
Wir formen den Nenner wie folgt um:
x ^ 2 + 2 a x + b = (x + a ) ^ 2 + ( b - a^2) = (x + a)^2 + c^2.
wobei c reell und positiv ist.
Diese Umformung funktioniert, weil b - a^2
nach Voraussetzung positiv ist.
Der Integrand wird zweckmässig so zerlegt:
g(x) = m/2* [(2x +2a) / (x^2 + 2ax + b)] + (n-ma) / [(x+a)^2+c^2]
Den zweiten Summanden formen wir noch etwas um:
(n-ma)/c * 1 / [ {(x+a)/c}^2 +1] * 1/c
Durch gliedweises Integrieren kommt:
int[g(x) * dx ] = m/2* ln (x^2 +2ax + b) + (n-ma) / c* arc tan [(x+a) / c]
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Für dein Beispiel gilt:
m = 3, n = 8, a = 3, b = 10 .
Ueberprüfe das Ergebnis !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
yellow
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 09:54: |
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hallo megamath,
wie funktiert dann die Partialbruch zerlegung, wenn bsw. der Nenner x^4+1 ist?
yellow |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 14:08: |
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Hi yellow,
Deine Frage nach der Partialbruchzerlegung der Funktion
f(x) = 1 / ( x ^ 4 + 1 ), möchte ich wie folgt beantworten.
Die vier Nullstellen des Nenners sind paarweise
konjugiert komplex und lauten:
x1 = w + i w ,
x2 = w - i w
x3 = - w + i w
x4 = - w - i w
mit w = ½ * wurzel(2)
Das Produkt der Linearfaktoren (x - x1) * ( x - x2 )
fassen wir zum reellen quadratischen Faktor (x - w) ^ 2 + ½ =
[x^2 - wurzel(2) * x +1] zusammen.
Ebenso verfahren wir mit dem Produkt der beiden anderen
Linearfaktoren:
Wir erhalten:
( x - x3 )* (x - x4 ) = [x^2 + wurzel(2) * x + 1]
Die Inhalte dieser eckigen Klammern werden je zu Nennern in
der gesuchten Partialbruchzerlegung:
Der Ansatz lautet
f(x) = [ M*x + N ] / [ x^2 - wurzel(2) * x +1 ]
+ [ P*x + Q ] / [ x^2 + wurzel(2) * x +1 ]
Bringt man diese zwei Brüche rechts auf den Hauptnenner x^4+1
und vollzieht den Koeffizientenvergleich ,so erhält man das
folgende Gleichungssystem:
M + P = 0
M * wurzel(2) + N - P *wurzel(2) + Q = 0
M + N* wurzel(2) + P - Q * wurzel(2) =0
N + Q = 1
Die Lösungen sind:
M = - ¼ * wurzel(2)
Q = ½
N = ½
P = ¼ * wurzel(2)
Damit ist f(x) im Reellen in Partialbrüche zerlegt
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Als Uebungsaufgabe zerlege man ebenso:
1.
[ x ^ 2 + 4 ] / [ (x ^ 2 +5 )* ( x -1 ) ]
2.
[ x ^ 4+2 ] / [ x* ( x ^ 2 + 4 ) ^2 ]
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Viel Vergnügen und freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath
P.S.
Lösungen werden auf ausdrücklichen Wunsch
nachgeliefert !
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 22:13: |
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Hi yellow,
Wir wollen die von Dir gestellte Aufgabe
noch etwas ausweiten und fragen nach dem
unbestimmten Integral
J = int [ 1 / ( 1 + x ^ 4 ) * dx ]
Als Resultat habe ich erhalten:
J = ¼*wurzel(2) * {1/2* ln [(x^2 + wurzel(2) * x +1)/(x^2 - wurzel(2) * x +1]
+ arc tan [(x * wurzel(2)) / (1 - x ^ 2 ) ] } + C .
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Bitte kontrollieren !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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