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Beitrag |
    
Voniox
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2001 - 20:29: | 
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Hallo!
Es sei X ein metrischer Raum. Und der Abstand zwischen zwei nicht-leere Teilmengen A und B aus X sei wie folgt definiert:
d(A,B)=inf{d(x,y) ; x aus A, y aus B}
Wie beweist man nun folgende Aussagen:
(i) Für eine nicht-leere Teilmenge A aus X ist f:X => R mit f(x) => d(A,{x}) eine stetige Funktion
(ii) f^-1(0)=A quer(wobei mir der Querbalken über dem A auch nichts sagt)
(iii) d(A,B) = d(A,B quer)
(iv) d(A,C)<= d(A,B) + d(B,C)
Bitte helft mir bei dieser Aufgabe!
Danke für jeden Tipp!
Voniox |
lnexp
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 05:12: |
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zu (ii):
mit A quer ist der Abschluss von A gemeint.
per Def. gilt B:=f^-1(0)={y in R: d(A,{y})=0}
Da f stetig ist, ist f^-1(0) abgeschlossen, da die Menge {0} abgeschlossen ist.
Daher gilt B quer =B
Da für jedes y in A gilt: d(A,{y})=0, gilt dann auch y in B, also gilt A Teilmenge B.
Dann gilt aber auch A quer Teilmenge von B quer.
Jetzt muss man noch zeigen, dass auch B=B quer Teilmenge von A quer gilt:
für y in B=B quer gilt d(A,{y})=0; da d(A,{y})=inf{d(x,y) ; x aus A, y } existiert eine Folge (xn) in A mit Grenzwert d(xn,y)--->0, d.h. xn--->y; damit liegt y im Abschluss A quer, was zu zeigen war. |
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