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Beitrag |
    
Klemens
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2001 - 18:26: | 
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Hallo!
Habe hierbei ein paar Probleme:
Sei R eine reflexive Relation auf einer Menge S. Weisen Sie nach, dass aus aRb und aRa folgt bRa
Vielen Dank! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2001 - 21:56: |
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Hi Klemens,
betrachte zwei Beispiele:
1. die Relation < auf R
Die ist nicht reflexiv.
2. die Relation <= auf R
Diese ist reflexiv.
Zu zeigen ist, wenn eine Relation reflexiv ist, dann ist sie auch symmetrisch (d.h. aRb => bRa).
Das stimmt aber nicht.
Beispiel:
Die Relation <= auf R ist reflexiv (aRa) und nicht symmetrisch. Aus 2<=5 und 2<=2 kann man micht folgern, daß 5<=2. Einfach dehalb nicht, weil es falsch ist.
Gibt es eine weitere Voraussetzung?
Gruß
Matroid |
Klemens
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 15:55: |
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Hi Matroid!
Die ursprüngliche Aufgabenstellung war:
Sei R eine reflexive Relation auf einer Menge S. Zeigen Sie, dass R genau dann symmetrisch und transitiv ist, wenn aus aRb und aRc stets bRc für beliebige a,b,c aus S folgt.
Diese habe ich bereits einmal eingeschickt und folgende Antwort erhalten:
Symmetrie :
Da a reflexiv ist gilt aRa.
Aus aRb und aRa folgt aber bRa(bRa->aRb analog).
Also ist R auch symmetrisch.
Transitiv :
aRb und bRc
Aufgrund der Symmetrie folgt bRa und bRc.Nach Voraussetzung bedeutet das aber aRc q.e.d.
Das erschien mir erst logisch, aber dann war mir nicht ganz klar warum:
*Aus aRb und aRa folgt aber bRa(bRa->aRb analog)*
Vielen Dank im Voraus!
Klemens |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 18:56: |
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Es ist also zu zeigen:
Für eine reflexive Relation (aRa für alle a) gilt:
[ aRb und aRc => bRc ] <=> [(aRb => bRa) und (aRb und bRc => aRc) ]
Richtung =>
Mit c=a folgt aus der linken Seite die Symmetrie.
Denn dort steht dann (aRb und aRa) => bRa)
Bemerkung: es hat ja niemand verlangt, daß c ungleich a sein soll.
Zeige die Transitivität: sei (aRb und bRc). Wegen der schon nachgewiesenen Symmetrie ist auch (bRa und bRc) und aus der Voraussetzung folgt dafür aRc, also transitiv.
Nun die Gegenrichtung <=
Sei R symmetrisch und transitiv und gelte für alle a,b,c: (aRb und aRc).
Dann ist aber wegen Symmetrie: (bRa und aRc) und daraus folgt wegen Transitivitaet: rRc. Das war zu zeigen.
Mehr ist das nicht.
Kannst Du das nachvollziehen?
Es ist minimalistische Axiomatik gefragt.
Gruß
Matroid |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 18:58: |
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Statt rRc muss es bRc heissen (vor dem "Das war zu zeigen"). |
Klemens
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Mai, 2001 - 19:50: |
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Vielen Dank für die ausgezeichnete Erklärung!
Viele Grüße
Klemens |
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