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Beitrag |
    
Michael Kämper (2icm)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2001 - 10:46: | 
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Mein Ansatz ist:
t=sin(x), x=arcsin(t), h': 1/(sqrt(1-t^2))
Int = Integral
Int(cos(x)/(1+cos(x))) =
Int(1/(1+sqrt(1-t^2)))
erneute Substitution:
t=(1-s^2)/(1+s^2), s=sqrt((1-t)/(1+t))
Int(1/(1+sqrt(1-t^2))) =
Int(-4s/(s^4+2s^3+2s^2+2s+1))
mit Parzialbruchzerlegung:
= Int((2/(s+1)^2)-(2/(s^2+1)))
=> Int(cos(x)/(1+cos(x))) =
(-2/(sqrt((1-sinx)/(1+sinx))+1))-
(2arctan(sqrt((1-sinx)/(1+sinx))))
Dies stimmt aber laut Software nicht , d.h.
der von der Software bestimmte Graph der Ableitung der von mir berechneten Stammfunktion stimmt nicht mit dem Graphen der Funktion überein.
Wo liegt mein Fehler ? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2001 - 14:24: |
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Hi Michael;
Alle Achtung für Deine Ausdauer.
Ich habe Deine Monsterrechnung überprüft
und keine Fehler gefunden
Ich bekomme ebenfalls als mögliche Stammfunktion:
- 2 / (s+1) - 2*arc tan (s) mit s = wurzel [(1-t ) / (1+t)]
und t = sin x..
Man könnte noch vereinfachen.
Besser ist es jedoch, einen anderen Lösungsweg
einzuschlagen,den ich Dir nun zeigen möchte
Wir schreiben den Integranden so:
[cos x / (1+ cosx)] = [ (1+cos x - 1 ) / (1+cos x) ] =
1 - 1 / (1+cos x) = 1 - 1 / [ 2* { cos(x / 2) }^ 2 ] =
1 - ½ * 1 / {cos(x/2)}^2
Jetzt kann man getrost integrieren und erhält die
Stammfunktion
F:= x - tan( x / 2) + C als Schlussresultat
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
holger
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2001 - 14:49: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Warum ist denn:
1+cos(x) = 2*(cos(x/2))^2 ?
Auf den ersten Blich erschließt sich mir das noch nicht so ganz.
-holger |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Mai, 2001 - 17:17: |
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Hi holger,
Die in Frage stehende Formel leite ich Dir gerne her.
Ausgangspunkt ist die Doppelwinklformel des Kosinus:
cos 2 t = ( cos t ) ^ 2 - ( sin t ) ^ 2 , welche sich aus dem
Additionstheorem des Kosinus ergibt
Addiere dazu links 1 und rechts die Quadratsumme aus
sin t und cos t ; es kommt:
1 + cos (2 t) = 2 * ( cos t ) ^ 2.
Ersetze jetzt t durch x / 2 und 2 t durch x , und Du bekommst
die fragliche Formel. auf dem Präsentierteller !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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