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taco01
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 16:05: | 
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hallo!
also ich soll das volumen des kegels: z^2= x^2+y^2, der nach oben von der kugel: x^2+y^2+z^2=16 begerenzt wird, berechnen.
ich hab das versucht und habe zuerst den kegel und die kugel in zylinderkoordinaten ausgedrückt:
kegel: z^2=r^2
kugel: r^2+z^2=16
der schnitt wäre dann bei r^28
meine grenzen sind also dann: -squrt(8)<r<squrt(8)
0<phi<2pi und 0<z<r
das volumselement dV=r*dr*dphi*dz
und mein integral lautet schlußendlich:
intintint(r^3*dr*dphi*dz)
wäre super wenn mir jemand sagen könnte ob das der totale blödsinn ist was ich da rechne, oder ob das ungefähr hinkommt.
danke im vorraus
mfg taco01 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Mai, 2001 - 23:17: |
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Hi taco01,
Wenn wir zur Berechnung des Volumens ein Dreifachintegral
verwenden wollen, setzen wir naturgemäss Kugelkoodinaten ein.
Diese lauten:
x = r * cos u * sin t
y = r * sin u * sin t
z = r * cos t
Das Volumenelement beträgt:
dV = r ^ 2 * sin t * dr * dt * du
Mit Maple oder auch von Hand berechnen wir das Dreifachintegral
V:= int(int(int(r^2*sin(t),r=0..4),t=0..Pi/4),u=0..2*Pi);
Ergebnis:
V= - 64 /3 * Pi * wurzel(2) + 128 / 3 * Pi
Zur Kontrolle berechnen wir das gesuchte Volumen stereometrisch
Der Körper, dessen Volumen V zu berechnen ist,
ist nichts anderes als ein Kugelsektor
(Kegelvolumen plus Volumen einer Kugelkappe).
Die Formel für das Sektorvolumen lautet:
V = 2 / 3 * Pi * R ^ 2 * h mit
R = 4 als Kugelradius
h = R - 2 * wurzel(2) = 2 * (2 - wurzel(2)
Beachte, dass der halbe Oeffnungswinkel des Rotationskegels
(Spitze in O) 45° beträgt.; der Grundkreisradius des Kegels ist
wurzel(2) usw.
Wir erhalten auch mit dieser Methode:
V = 2/3 * Pi *4^2 * ( 4 - 2 * wurzel(2) ) , also
V = 64 /3 * Pi * ( 2 - wurzel(2) ), wie soeben.
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
taco01
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 08:08: |
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hallo H.R.Moser, megamath.!
danke für deine hilfe!
aber ich muß gestehen, mir ist das ganze nicht so klar. es ist also "nur" das volumselement zu integrieren? und die interationsgrenzen, für r ist klar; aber wie kommst du auf pi/4 für t?
hm,hm....und die methode das über zylinderkoordinaten zu lösen ist ganz falsch? schon im prinzip, oder hab ich nur irgendwo einen wurm reinghaut?
lg taco01 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 11:44: |
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Hi taco01,
Hier die gewünschten zusätzlichen Erklärungen
1) zum Rotationskegel
Die Achse des Kegels ist die z-Achse,
die Spitze ist der Nullpunkt
Der Winkel zwischen der Achse und einer Mantellinie,
d.h. der halbe Oeffnungswinkel ist 45°, im Bogenmass also Pi/4;
dies ist denn auch der von Dir nachgefragte t-Wert.
Ich empfehle Dir, einen Achsenschnitt dieses Kegels z.B.
in der (y,z) -Ebene zu skizzieren.
Setzen wir in der Gleichung des Kegels x = 0 ein, so
erhalten wir diesen Achsenschnitt als Geradenpaar
y ^ 2 = z ^ 2, d.h. z = y und z = - y
Diese Schnittmantellinien bilden je den oben genannten Winkel
von 45° mit der z-Achse.
Weil die Länge einer Mantellinie gleich dem Kugelradius R = 4 ist
messen die Höhe h und der Radius rho des Grundkreises
je 4 / wurzel (2), also je 2 * wurzel(2),und damit ist ein Tippfehler
in meiner früheren Arbeit korrigiert .
Zeichne in Deiner Skizze auch den Kreisbogen ein ,
den die Kugel erzeugt:
Mittelpunkt in O, Radius 4 , z-Achse als Symmetrieachse,
Zentriwinkel in O : 2* 45° = 90°
Die Höhe der Kugelkappe ist R - h = 4 - 2* wurzel2;
Dieser Wert wurde im zweiten Teil bei der Berechnung des
Kugelsektors benötigt
2) Zu den Kugelkoordinaten
In der von mir verwendeten Form bedeutet t den Winkel
der Strecke OP mit der z-Achse; daher variiert t von 0 bis Pi/4,
wenn P im Inneren und auf dem Rand des Körpers liegen soll.
Der Koeffizient beim Volumenelement im Dreifachintegral ist notwendigerweise eins.
3) Zylinderkoordinaten
x = r cos (phi) , y = r sin (phi) , z = z
Volumenelement dV = r dz d(phi) dr
Diese Darstellung eignet sich nicht dafür , Dein Problem
elegant zu lösen.
In Deinem Ansatz ist übrigens das Volumenelement nicht richtig.
Schon die Dimension der Länge stimmt nicht :
r ^ 3 * dr hat die Dimension (Länge) ^ 4.
4) Mehr zum Thema
Im Archiv findest Du unter dem Stichwort "vogue"
die Herleitung des Kugelsektorvolumens mit Hilfe eines
Tripelintegrals.
Mit freundliche Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
taco01
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Mai, 2001 - 16:53: |
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hi nochmal!
dankesehr! jetzt ist mir das ganze schon etwas klarer! hast mir wirklich geholfen.
werd noch etwas darüber grübeln- ich brauch da immer ein bissi *g*.
wünsch dir noch einen schönen tag,
lg taco01 |
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